数学(文) 第1部分 专题2---第3讲

第三讲平面向量考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业平面向量的线性运算[例1](1)△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若CB→＝a，CA→＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD→＝()A.13a＋23bB.23a＋13bC.35a＋45bD.45a＋35b考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业[自主解答]由角平分线的性质得|CB||CA|＝|BD||DA|＝12，∴BD→＝13BA→＝13(CA→－CB→)＝13(b－a)，∴CD→＝CB→＋BD→＝a＋13(b－a)＝23a＋13b.[答案]B考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业(2)(2011年高考山东卷)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3→＝λA1A2→(λ∈R)，A1A4→＝μA1A2→(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是()A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业[自主解答]依题意，若C，D调和分割点A，B，则有AC→＝λAB→，AD→＝μAB→，且1λ＋1μ＝2.若C是线段AB的中点，则有AC→＝12AB→，此时λ＝12.又1λ＋1μ＝2，所以1μ＝0，不可能成立．因此A不对，同理B不对．当C，D同时在线段AB上时，由AC→＝λAB→，AD→＝μAB→知0λ1,0μ1，此时1λ＋1μ2，与已知条件1λ＋1μ＝2矛盾，因此C不对．若C，D同时在线段AB的延长线上，则AC→＝λAB→时，λ1，AD→＝μAB→时，μ1，此时1λ＋1μ2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上．[答案]D考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业(3)(2011年高考上海卷)设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使MA1＋MA2→＋MA3→＋MA4→＋MA5→＝0成立的点M的个数为()A．0B．1C．5D．10[自主解答]从特例入手，不妨令A1，A2，A3，A4，A5五点共线，且|A1A2→|＝|A2A3→|＝|A3A4→|＝|A4A5→|，则满足题意的点M恰为A1A5→的中点，存在且唯一．猜想知：满足条件的点M的个数是唯一的，下面用反证法证明如下．假设满足条件的点除M外还有点N，那么MA1→＋MA2→＋MA3→＋MA4→＋MA5→＝0，①NA1→＋NA2→＋NA3→＋NA4→＋NA5→＝0，②①－②得5MN→＝0，∴MN→＝0，则N点与M点重合，与假设矛盾．∴满足条件的点M只有一个．[答案]B考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业(4)(2011年高考北京卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)，若a－2b与c共线，则k＝________.[自主解答]a－2b＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3)，又∵a－2b与c共线，∴(a－2b)∥c，∴3×3－3×k＝0，解得k＝1.[答案]1考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业平面向量的数量积[例2](1)(2011年高考课标全国卷)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p1：|a＋b|1⇔θ∈0，2π3p2：|a＋b|1⇔θ∈2π3，πp3：|a－b|1⇔θ∈0，π3p4：|a－b|1⇔θ∈π3，π其中的真命题是()A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业[自主解答]由|a＋b|＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2cosθ1，得2＋2cosθ1，∴cosθ－12，∴0≤θ2π3.由|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝2－2cosθ1，得2－2cosθ1，∴cosθ12，∴π3θ≤π.∴p1，p4正确．[答案]A考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业(2)(2011年高考全国卷)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，a－c，b－c＝60°，则|c|的最大值等于()A．2B.3C.2D．1考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业[自主解答]如图，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则CA→＝a－c，CB→＝b－c.∵|a|＝|b|＝1，∴OA＝OB＝1.又∵a·b＝－12，∴|a|·|b|·cos∠AOB＝－12.∴cos∠AOB＝－12.∴∠AOB＝120°.又∵a－c，b－c＝60°，而120°＋60°＝180°，∴O、A、C、B四点共圆．∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时∠OAC＝∠OBC＝90°，∴Rt△AOC≌Rt△BOC，∴∠ACO＝∠BCO＝30°，∴|OC|＝2|OA|＝2.即|c|＝2.[答案]A考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业(3)(2011年高考辽宁卷)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A.2－1B．1C.2D．2[自主解答]由(a－c)·(b－c)≤0，a·b＝0，得a·c＋b·c≥c2＝1，∴(a＋b－c)2＝1＋1＋1－2(a·c＋b·c)≤1.∴|a＋b－c|≤1.[答案]B考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业(4)(2011年高考湖南卷)在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·BE→＝________.[自主解答]由题意画出图形如图所示。取一组基底AB→，AC→，结合图形可得AD→＝12(AB→＋AC→)，BE→＝AE→－AB→＝23AC→－AB→，∴AD→·BE→＝12(AB→＋AC→)·(23AC→－AB→)＝13AC→2－12AB→2－16AB→·AC→＝13－12－16cos60°＝－14.[答案]－14考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业平面向量的应用[例3]已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)．(1)若c＝5，求sinA的值；(2)若∠A是钝角，求c的取值范围．[自主解答](1)当c＝5时，AB→＝(－3，－4)，AC→＝(2，－4)．△ABC中，cosA＝AB→·AC→|AB→|·|AC→|＝－3×2＋－4×－49＋16·4＋16＝55，∴sinA＝1－cos2A＝1－15＝255.考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业(2)若A为钝角，则cosA＜0.AB→＝(－3，－4)，AC→＝(c－3，－4)．∴cosA＝AB→·AC→|AB→|·|AC→|＝－3×c－3＋－4×－45c－32＋16＜0.即－3c＋25＜0得c＞253.考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业1．设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A＝sinπ3＋B·sinπ3－B＋sin2B.(1)求角A的值；(2)若AB→·AC→＝12，a＝27，求b，c(其中bc)．解析：(1)因为sin2A＝32cosB＋12sinB32cosB－12sinB＋sin2B＝34cos2B－14sin2B＋sin2B＝34，所以sinA＝±32.又A为锐角，所以A＝π3.考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业(2)由AB→·AC→＝12可得cbcosA＝12.①由(1)知A＝π3，所以cb＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcosA，将a＝27及①代入，得c2＋b2＝52，③③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10.因此，c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根．解此方程并由cb知c＝6，b＝4.考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业拓展交汇[例4]已知点M(－2,0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝22.记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA→·OB→的最小值．[解析](1)由|PM|－|PN|＝22知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a＝2.又半焦距c＝2，故虚半轴长b＝c2－a2＝2.所以W的方程为x22－y22＝1(x≥2)．(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．当AB⊥x轴时，x1＝x2，y1＝－y2.从而OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x21－y21＝2.考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，与W的方程联立，消去y得(1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0.故x1＋x2＝2km1－k2，x1x2＝m2＋2k2－1，所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝1＋k2m2＋2k2－1＋2k2m21－k2＋m2＝2k2＋2k2－1＝2＋4k2－1.又因为x1x2＞0，所以k2－1＞0.从而OA→·OB→＞2.综上，当AB⊥x轴时，OA→·OB→取得最小值2.考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业2．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为33，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点．当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为22.(1)求a、b的值；(2)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP→＝OA→＋OB→成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．考点主干架构菜单隐藏高考新课标专题复习·数学（文）山东金太阳书业有限公司考向聚焦拓展高效课时作业解析：(1)设F(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0，O到l的距离为|0－0－c|2＝c2，故c2＝22，c＝1.由e＝ca＝33，得a＝3，b＝a2－c2＝2.(2)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP→＝OA→＋OB→成立．由(1