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3.1.2复数的几何意义课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引学习目标1.能说出复数与复平面内的点、平面向量之间的一一对应关系;2.会分析复数的几何意义,记住复数的模的几何意义.重点难点重点:复数的几何意义与复数的模;难点:复数的几何意义.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引1.复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.预习交流1思考:在复平面中,实轴上的点一定表示实数,虚轴上的点一定表示纯虚数吗?提示:在复平面中,实轴上的点一定表示实数,但虚轴上的点不一定表示虚数.事实上,虚轴上的点(0,0)是原点,它表示实数0,除此之外,虚轴上的其他点都表示纯虚数.复平面内每个象限内的点一定表示虚数.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引2.复数的两种几何意义(1)复数z=a+bi一一对应复平面内的点Z(a,b);(2)复数z=a+bi一一对应平面向量𝑂𝑍.预习交流2做一做:①在复平面内,复数-1+3i对应的点的坐标是;②在复平面内,点(0,-2)对应的复数是.提示:①(-1,3)②-2i课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引3.复数的模向量𝑂𝑍的模r叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=𝑎2+𝑏2.预习交流3(1)思考:复数的模一定大于0吗?提示:不一定.复数的模是非负数,即|z|≥0,当且仅当z=0时,|z|=0.(2)做一做:若复数z满足|z|=2,那么在复平面内,复数z对应的点的轨迹是什么图形?提示:设z=x+yi(x,y∈R),由|z|=2得𝑥2+𝑦2=2,即x2+y2=4.故z对应的点(x,y)的轨迹是一个以原点为圆心,半径等于2的圆.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测一、复平面内复数与点的对应活动与探究1.怎样理解复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)一一对应?提示:每一个复数,在复平面内有唯一的点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的复数和它对应.2.复平面内的点(a,b)和(b,a)表示的复数相同吗?提示:不同,横坐标为复数的实部,纵坐标为复数的虚部,点(a,b)表示的复数为z1=a+bi,而点(b,a)表示的复数为z2=b+ai.3.虚轴上的点都表示纯虚数吗?复平面内虚轴上的单位长度是什么?提示:虚轴上的点除原点外都是纯虚数,虚轴上的单位长度是1.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测例1(1)若θ∈3π4,5π4,则复数z=(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i在复平面内所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)求实数a分别取何值时,复数z=𝑎2-a-6𝑎+3+(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件:①在复平面的第二象限内;②在复平面内的x轴上方;③在直线x+y+7=0上.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测思路分析:(1)根据所给角θ的范围,确定复数z的实部与虚部的符号.(2)由z=a+bi(a,b∈R)与点Z(a,b)一一对应知第①问要求实部小于0,虚部大于0;第②问要求虚部大于0;第③问中用实部代x,虚部代y,解方程即可.(1)答案:B解析:cosθ+sinθ=2sin𝜃+π4,sinθ-cosθ=2sin𝜃-π4.因为θ∈3π4,5π4,所以θ+π4∈π,3π2,θ-π4∈π2,π.因此cosθ+sinθ0,sinθ-cosθ0,所以复数z在复平面内对应的点在第二象限.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测(2)解:①点Z在复平面的第二象限内,则𝑎2-a-6𝑎+30,𝑎2-2a-150,解得a-3.②点Z在x轴上方,则𝑎2-2a-150,𝑎+3≠0,即(a+3)(a-5)0,解得a5,或a-3.③点Z在直线x+y+7=0上,∴𝑎2-a-6𝑎+3+a2-2a-15+7=0,即a3+2a2-15a-30=0,∴(a+2)(a2-15)=0,故a=-2,或a=±15.∴a=-2,或a=±15时,点Z在直线x+y+7=0上.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测迁移与应用1.已知a∈R,则复数(a2+a+1)-(a2-2a+3)i对应的点在复平面内的第象限.答案:四解析:由a2+a+1=𝑎+122+340,-(a2-2a+3)=-(a-1)2-20,故复数对应点在第四象限.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测2.已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第三象限,则实数x的取值范围为.答案:(1,2)解析:因为复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第三象限,所以𝑥2-6x+50,𝑥-20.所以1𝑥5,𝑥2.所以1x2.即1x2为所求实数x的取值范围.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是:复数的实部就是该点的横坐标,虚部就是该点的纵坐标.(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时,可根据复数与点的对应关系,建立复数的实部与虚部满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测二、复平面内复数与向量的对应活动与探究1.在研究复数z=a+bi(a,b∈R)与向量的对应关系时,对向量有什么特殊要求?为什么?提示:向量必须以原点为起点,因为向量可以在平面内自由移动,相等的向量有无数个.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测2.怎样理解复数z=a+bi(a,b∈R)与向量𝑂𝑍的一一对应关系?提示:设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连接OZ,显然向量𝑂𝑍是由点Z唯一确定的;反过来,点Z也可以由向量𝑂𝑍唯一确定.所以复数z=a+bi与向量𝑂𝑍一一对应.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测例2已知向量𝑂𝐴对应的复数是4+3i,点A关于实轴的对称点为A1,将向量𝑂𝐴1平移,使其起点移动到A点,这时终点为A2.(1)求向量𝑂𝐴1对应的复数;(2)求点A2对应的复数.思路分析:根据复数与点、复数与向量的对应关系求解.解:(1)∵向量𝑂𝐴对应的复数是4+3i,∴点A对应的复数也是4+3i,因此点A坐标为(4,3),∴点A关于实轴的对称点A1为(4,-3),故向量𝑂𝐴1对应的复数是4-3i;课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测(2)依题意知𝑂𝐴1=𝐴𝐴2,而𝑂𝐴1=(4,-3),设A2(x,y),则有(4,-3)=(x-4,y-3),∴x=8,y=0,即A2(8,0),∴点A2对应的复数是8.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测迁移与应用1.已知复数z1=-3+4i,z2=a-3i(a∈R).z1,z2对应的向量分别为𝑂𝑍1,𝑂𝑍2,且𝑂𝑍1⊥𝑂𝑍2,则a=.答案:-4解析:依题意𝑂𝑍1=(-3,4),𝑂𝑍2=(a,-3),由于𝑂𝑍1⊥𝑂𝑍2,所以𝑂𝑍1·𝑂𝑍2=0,即-3a-12=0,解得a=-4.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测2.在复平面内,向量𝑂𝐴表示的复数为1+i,将向量𝑂𝐴向右平移1个单位后,再向上平移2个单位,得到向量𝑂'𝐴',则向量𝑂'𝐴'对应的复数是.答案:1+i解析:在复平面内,一个向量作平移变换,从一个位置无论平移到哪一个位置,平移后的向量和原来的向量都是相等向量,对应的复数也都相等,所以𝑂'𝐴'=𝑂𝐴.因此,向量𝑂'𝐴'对应的复数仍然是1+i.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测(1)复数z=a+bi(a,b∈R)是与以原点为起点,Z(a,b)为终点的向量𝑂𝑍一一对应的.(2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应复数可能改变.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测三、复数的模活动与探究1.复数的模是什么数?可以比较大小吗?提示:复数的模是非负实数,可以比较大小.2.若|z|≤1,则复数z在复平面内对应的点Z的轨迹是什么?提示:点Z的轨迹为以原点为圆心,1为半径的圆上及圆内部分.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测例3(1)设z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,求复数z.(2)设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?①|z|=2;②|z|≤3.(3)已知z1=x2+𝑥2+1i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1||z2|成立,试求实数a的取值范围.思路分析:(1)设z=ai(a∈R,且a≠0),利用模长公式来求解.(2)通过利用模的定义,转化为实数x,y满足的条件来求解.(3)根据复数的代数形式求模后,转化为含参数的二次不等式来求解.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测解:(1)∵z为纯虚数,∴设z=ai(a∈R,且a≠0),则|z-1|=|ai-1|=𝑎2+1.又∵|-1+i|=2,∴𝑎2+1=2,即a2=1,∴a=±1,即z=±i.(2)设z=x+yi(x,y∈R),①|z|=2,∴x2+y2=2,∴点Z的集合是以原点为圆心,以2为半径的圆.②|z|≤3,∴x2+y2≤9.∴点Z的集合是以原点为圆心,以3为半径的圆及其内部.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测(3)∵|z1|=𝑥4+𝑥2+1,|z2|=|x2+a|,且|z1||z2|,∴𝑥4+𝑥2+1|x2+a|⇔(1-2a)x2+(1-a2)0恒成立.不等式等价于①:1-2a=0⇒a=12,即a=12时,0·x2+1-140恒成立.或②:1-2𝑎0,𝛥=-4(1-2𝑎)(1-𝑎2)0⇒-1a12.∴a∈-1,12.综上可得,a的取值范围是𝑎-1𝑎≤12.3.1.2复数的几何意义课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测迁移与应用1.若复数z=(m-2)+(m+1)i为纯虚数(i为虚数单位),其中m∈R,则|z|=.答案:3解析:由z是纯虚数可知m=2,这时z=3i,故|z|=|3i|=3.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测2.已知z1=2-2