2.3.3向量积的坐标运算及度量公式

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式1122112212,,,ababababababaaa一.复习回顾：12121.,,,,aaabbb已知则.cos;0)2(cos)1(2babababaaaaaaababa；或2.二.探究新知:121212.,,,,.3.4.aaabbbabab已知两个非零向量怎样用和的坐标表示平面向量的数量积能否用坐标表示？怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹呢？角公式？三.新课讲授:1.向量内积的坐标运算121212,,,,,,eeaaabbbab建立正交基底已知则？11221122,aaeaebbebe112211221111121221212222abaeaebebeabeeabeeabeeabee112212211,0eeeeeeee我们得到数量积的坐标表达式1122ababab结论：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即:xoB(b1,b2)A(a1,a2)y所以，根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。1122ababab2.两向量垂直和平行的条件1212,,,aaabbb设，122112211//,0,0,//abababababab若则反之若则2.a,ab0;ab0abb若则反之，若，则.平行11220ababab因此：垂直1211221221a00bbaababkbb，当可以写成时，条件1221,,,abaabbk即：如果向量与平行。为比例系数2112,,bbbb结论：对任意实数k,向量k与向量垂直3,44,3,8,6,12,9例如：向量与向量…垂直；或aaaaaa2)1(3.向量的长度、距离、夹角公式221221221122222))),,(),2,),,()1(yyxxAByxByxAyxayxayxa（（则、（设）两点间的距离公式（；或则设向量的模3.向量的长度、距离、夹角公式∴＝60º.θ三.典型例题例1已知a＝(1，√3)，b＝(–2，2√3),（1）求a·b；（2）求a与b的夹角θ.解：（1）a·b＝1×(–2)＋√3×2√3＝4;（2）a＝√12＋(√3)2＝2,b＝√(–2)2＋(2√3)2＝4,cos＝＝＝,42×4a·b|a||b|12θ变式1：1,2,3,4,5,0,BCBAC变式2：已知A求的正弦值310sin10BACx0y例2已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明.A(1,2)B(2,3)C(-2,5)课堂练习：41.23b,2,,311331,2,1,,___1111....22223.Ck,1,2,3,k33224.axxababmabmAmBmCmDmABACmn若，，且则x等于____A.3B.C.D.-32.设若与的夹角为钝角，则的取值范围是在ABC中，=90，则的值是_____A.5B.5C.D.设、是两个非零向量1122221212,,,_____mxynxymnmnmnmnmnmn，且，则以下关系式中与等价的是①=0②xx=-yy③+-④+BDA①②③④例3已知四点坐标：A(-1，3)、B(1，1)、C(4，4)、D(3，5).（1）求证：四边形ABCD是直角梯形；（2）求∠DAB的大小.(1)证明：AB=(1–(-1),1–3)=(2,-2),BC=(4–1,4–1)=(3,3).DC=(4–3,4–5)=(1,-1),∵AB=2DC,xABCDy∴AB⊥BC.∵AB·BC=2×3+(-2)×3=0,∴AB//DC.知识反馈∴ABCD是直角梯形.又∵AB≠DC,xABCDy（2）解：|AB|=√(1–(-1))2+(1–3)2=2√2,AD=(3–(-1),5–3)=(4,2),|AD|=√(3–(-1))2+(5–3)2=2√5,AD·AB=4×2+2×(-2)=4,cos∠DAB===,AD·AB|AD||AB|42√5·2√2√1010∴∠DAB=arccos.√1010四.逆向及综合运用例3（1）已知=（4，3），向量是垂直于的单位向量，求..532222222).54,53()54,53(1kbb））；（，）或（，）（（或）答案：（五。探索与研究2,1,1,7,5,1,1;21Ccos.OPOAOBCOPCACBOCACB已知设是直线上的一点（O为原点），求使取到最小值时的对中求出的点，求１、各公式的正向及逆向运用；知识小结：２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；３、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，形成转化技能。作业：《名师一号》79、80页提高练习2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，则四边形ABCD的形状是.矩形3、已知=(1，2)，=(-3，2)，若k+2与2-4平行，则k=.-1