小学数学解题方法解题技巧之最值问题

第一章小学数学解题方法解题技巧之最值问题【最小值问题】例1外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题）讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。例2在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示，它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。故，O点即为三只蚂蚁会面之处。【最大值问题】例1有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？（全国第二届“华杯赛”初赛试题）讲析：三个图的面积分别是：三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知，（a＋b）×c这组数的值最接近。故图（3）的面积最大。例2某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后，能卖出500个。已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。为了使这一天能赚得更多利润，售价应定为每个______元。（台北市数学竞赛试题）讲析：因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，其销量减少10个，所以，这种商品按单价90元进货，共进了600个。现把600个商品按每份10个，可分成60份。因每个涨价1元，销量就减少1份（即10个）；相反，每个减价1元，销量就增加1份。所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为60），根据等周长长方形面积最大原理可知，当把60分为两个30时，即每个涨价30元，卖出30份，此时有最大的利润。因此，每个售价应定为90＋30=120（元）时，这一天能获得最大利润。42、最值规律【积最大的规律】（1）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们的积最大。用字母表示，就是如果a1+a2+…+an=b（b为一常数），那么，当a1=a2=…=an时，a1×a2×…×an有最大值。例如，a1+a2=10，…………→…………；1+9=10→1×9=9；2+8=10→2×8=16；3+7=10→3×7=21；4+6=10→4×6=24；4.5+5.5=10→4.5×5.5=24.75；5+5=10→5×5=25；5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75；…………→…………；9+1=10→9×1=9；…………→…………由上可见，当a1、a2两数的差越小时，它们的积就越大；只有当它们的差为0，即a1=a2时，它们的积就会变得最大。三个或三个以上的数也是一样的。由于篇幅所限，在此不一一举例。由“积最大规律”，可以推出以下的结论：结论1所有周长相等的n边形，以正n边形（各角相等，各边也相等的n边形）的面积为最大。例如，当n=4时，周长相等的所有四边形中，以正方形的面积为最大。例题：用长为24厘米的铁丝，围成一个长方形，长宽如何分配时，它的面积为最大？解设长为a厘米，宽为b厘米，依题意得（a+b）×2=24即a+b=12由积最大规律，得a=b=6（厘米）时，面积最大为6×6=36（平方厘米）。（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的长方形。）结论2在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为最大。例题：用12米长的铁丝焊接成一个长方体，长、宽、高如何分配，它的体积才会最大？解设长方体的长为a米，宽为b米，高为c米，依题意得（a+b+c）×4=12即a+b+c=3由积最大规律，得a=b=c=1（米）时，长方体体积为最大。最大体积为1×1×1=1（立方米）。（2）将给定的自然数N，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然数全是2或3，并且2至多为两个时，这些自然数的积最大。例如，将自然数8拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积为最大。怎么办呢？我们可将各种拆法详述如下：分拆成8个数，则只能是8个“1”，其积为1。分拆成7个数，则只能是6个“1”，1个“2”，其积为2。分拆成6个数，可得两组数：（1，1，1，1，1，3）；（1，1，1，1，2，2）。它们的积分别是3和4。分拆成5个数，可得三组数：（1，1，1，1，4）；（1，1，1，2，3）；（1，1，2，2，2）。它们的积分别为4，6，8。分拆成4个数，可得5组数：（1，1，1，5）；（1，1，2，4）；（1，1，3，3）；（1，2，2，3）；（2，2，2，2）。它们的积分别为5，8，9，12，16。分拆成3个数，可得5组数：（1，1，6）；（1，2，5）；（1，3，4）；（2，2，4）；（2，3，3）。它们的积分别为6，10，12，16，18。分拆成2个数，可得4组数：（1，7）；（2，6）；（3，5）；（4，4）。它们的积分别为7，12，15，16。分拆成一个数，就是这个8。从上面可以看出，积最大的是18=3×3×2。可见，它符合上面所述规律。用同样的方法，将6、7、14、25分拆成若干个自然数的和，可发现6=3+3时，其积3×3=9为最大；7=3+2+2时，其积3×2×2=12为最大；14=3+3+3+3+2时，其积3×3×3×3×2=162为最大；由这些例子可知，上面所述的规律是正确的。【和最小的规律】几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达，就是如果a1×a2×…×an=c（c为常数），那么，当a1=a2=…=an时，a1+a2+…+an有最小值。例如，a1×a2=9，…………→…………1×9=9→1+9=10；3×3=9→3+3=6；…………→…………由上述各式可见，当两数差越小时，它们的和也就越小；当两数差为0时，它们的和为最小。例题：用铁丝围成一个面积为16平方分米的长方形，如何下料，材料最省？解设长方形长为a分米，宽为b分米，依题意得a×b=16。要使材料最省，则长方形周长应最小，即a+b要最小。根据“和最小规律”，取a=b=4（分米）时，即用16分米长的铁丝围成一个正方形，所用的材料为最省。推论由“和最小规律”可以推出：在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小。例如，面积均为4平方分米的正方形和圆，正方形的周长为8分米；而的周长小于正方形的周长。【面积变化规律】在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。为0.433×6=2.598（平方分米）。方形的面积。推论由这一面积变化规律，可以推出下面的结论：在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。例如，周长为4分米的正方形面积为1平方分米；而周长为4分米的圆，于和它周长相等的正方形面积。【体积变化规律】在表面积一定的正多面体（各面为正n边形，各面角和各二面角相等的多面体）中，面数越多，体积越大。例如，表面积为8平方厘米的正四面体S—ABC（如图1.30），它每一个面均为正三角形，每个三角形面积为2平方厘米，它的体积约是1.1697立方厘米。而表面积为8平方厘米长约为1.1546厘米，体积约为1.539立方厘米。显然，正方体体积大于正四面体体积。推论由这一体积变化规律，可推出如下结论：在表面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。例如，表面积为8平方厘米的正四面体，体积约为1.1697立方米；表面积为8平方厘米的正六面体（正方体），体积约为1.539立方厘米；而表面积是8平方厘米的球，体积却约有2.128立方厘米。可见上面的结论是正确的。【排序不等式】对于两个有序数组：a1≤a2≤…≤an及b1≤b2≤…≤bn，则a1b1+a2b2+……+anb抇n（同序）T≥a1b抇1+a2b抇2+……+anb抇n（乱序）≥a1bn+a2bn-1+……+anb1（倒序）（其中b抇1、b抇2、……、b抇n为b1、b2、……、bn的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且仅当a1=a2=…=an，或b1=b2=…=bn时，式中等号成立。）由这一不等式可知，同序积之和为最大，倒序积之和为最小。例题：设有10个人各拿一只水桶，同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第一、第二、……九、十个人的桶，分别需要1、2、3、……、9、10分钟。问：如何安排这10个人的排队顺序，可使每个人所费时间的总和尽可能少？这个总费时至少是多少分钟？解设每人水桶注满时间的一个有序数组为：1，2，3，……，9，10。打水时，等候的人数为第二个有序数组，等候时间最长的人数排前，这样组成1，2，3，……，9，10。根据排序不等式，最小积的和为倒序，即1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1=（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2=（10+18+24+28+30）×2=220（分钟）其排队顺序应为：根据注满一桶水所需时间的多少，按从少到多的排法。43、最优方案与最佳策略【最优方案】例1某工厂每天要生产甲、乙两种产品，按工艺规定，每件甲产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、1、4、0小时；每件乙产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、2、0、4小时。已知A、B、C、D四台设备，每天最多能转动的时间分别是12、8、16、12小时。生产一件甲产品该厂得利润200元，生产一件乙产品得利润300元。问：每天如何安排生产，才能得到最大利润？（中国台北第一届小学数学竞赛试题）讲析：设每天生产甲产品a件，乙产品b件。由于设备A的转动时间每天最多为12小时，则有：（2a＋2b）不超过12。又（a＋2b）不超过8，4a不超过16，4b不超过12。由以上四个条件知，当b取1时，a可取1、2、3、4；当b取2时，a可取1、2、3、4；当b取3时，a可取1、2。这样，就是在以上情况下，求利润200a＋300b的最大值。可列表如下：所以，每天安排生产4件甲产品，2件乙产品时，能得到最大利润1400元。例2甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂。它们生产同一规格的成衣，每个厂的人员和设备都能进行上衣和裤子生产。由于各厂的特点不同，甲厂每月联合生产，尽量发挥各自的特长多生产成衣。那么现在比过去每月能多生产成衣______套。（1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题）的时间生产上衣。所以，甲厂长于生产裤子，乙厂长于生产上衣。如果甲厂全月生产裤子，则可生产如果乙厂全月生产上衣，则可生产把甲厂生产的裤子与乙厂生产的上衣配成2100套成衣，这时甲厂生产150条裤子的时间可用来生产成套的成衣故现在比过去每月可以多生产60套。【最佳策略】例1A、B二人从A开始，轮流在1、2、3、……、1990这1990个数中划去一个数，直到最后剩下两个数互质，那么B胜，否则A胜。问：谁能必胜？制胜的策略是什么？（《中华电力杯》少年数学竞赛试题）讲析：将这1990个数按每两个数分为一组；（1、2），（3、4），（5、6），…，（1989、1990）。当A任意在括号中划去一个时，B就在同一个括号中划去另一个数。这样B就一定能获胜。例2桌上放有1992根火柴