多自由度系统的振动

两自由度系统的运动微分方程两自由度系统的模态两自由度系统的强迫振动多自由度系统的运动微分方程、模态、强迫振动第五章多自由度系统的振动5.1两自由度系统的运动微分方程1、单自由度系统描述系统运动状态只需一个广义坐标；系统振动微分方程为一个二阶常微分方程；数学求解一个二阶常微分方程。系统有一个固有频率；系统自由振动的频率为固有频率。2、多自由度系统描述系统运动状态需多个广义坐标；系统振动微分方程一般为多个相互耦合的二阶常微分方程组，即方程组各方程之间在变量上存在耦合（一个微分方程中包含多个变量和导数）数学求解需联立多个方程组，借助线性变换方法消除变量耦合（解耦），然后按单自由度系统的分析方法进行求解，再叠加，即模态分析。系统具有多个不同数值的固有频率（特殊情况下数值可能相等或有一个等于零）。当系统按其中任一固有频率作自由振动时，称为主振动。主振动是一种简谐振动。系统作主振动时，任何瞬时各点位移之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。返回首页两自由度系统的振动多自由度系统的特点：各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往往导致整个系统的振动。运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求解联立方程。两自由度系统的振动多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。汽车左右对称，化为平面系统两个自由度的振动系统工程实际中大量的问题不能简化为单自由度系统，往往需要简化成多自由度系统；两自由度系统是最简单的多自由度系统，无论是模型的简化、振动微分方程式的建立和求解的一般方法、以及系统响应表现出来的振动特性等等，两自由度系统的多自由度系统没有什么本质上区别，却有数学上求解比较简便的好处。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。5.1两自由度系统的运动微分方程例4.1图a)是一个典型的二自由度弹簧阻尼器质量系统，分别在m1，m2建立坐标系O1x1，O2x2以描述m1，m2的振动。坐标原点O1，O2分别取m1，m2的静平衡位置。两个坐标系的正向均向右。5.1两自由度系统的运动微分方程设m1，m2沿各自的坐标正向分别移动了x1，x2画出隔离体如图(b)所示。f1(t)f2(t)5.1两自由度系统的运动微分方程根据牛顿第二定律可以得到11111112122122223232221221()()()()()()mxFtkxcxkxxcxxmxFtkxcxkxxcxx11121221212212221232212322()()()()()()mxccxcxkkxkxFtmxcxccxkxkkxFt5.1两自由度系统的运动微分方程11121221212212221232212322()()()()()()mxccxcxkkxkxFtmxcxccxkxkkxFt写成矩阵形式12212211111223223222220()0()ccckkkmxxxFtccckkkmxxxFt5.1两自由度系统的运动微分方程12212211111223223222220()0()ccckkkmxxxFtccckkkmxxxFt均是对称矩阵1002mmM122223ccccccC122223kkkkkkK定义：系统的质量矩阵刚度矩阵阻尼矩阵质量影响系数阻尼影响系数刚度影响系数5.1两自由度系统的运动微分方程12212211111223223222220()0()ccckkkmxxxFtccckkkmxxxFtMxCxKxF设位移向量x={x1，x2}T速度向量激励向量F(t)={F1(t)，F2(t)}T加速度向量T12{,}xxxT12{,}xxx两自由度系统的运动微分方程：5.1两自由度系统的运动微分方程双质量弹簧系统的自由振动略去激励力及其它阻尼。两自由度的弹簧质量系统，两物体均作直线平移，0MxKx0000213222212121xxkkkkkkxxmm2100mmM322221kkkkkkK质量矩阵刚度矩阵5.1两自由度系统的模态13假设系统的运动为12()()uftftuxu代入运动方程，两边左乘uT()()0TTftftuMuuKu()()TTftftuKuuMu即：对于正定系统，M正定、K正定、因此𝝀总是大于𝟎.令𝝀=𝝎22()()0ft+ft=()cos()ftat()cos()xtatu对于正定系统，只能出现如上式x(t)的同步运动，称为主振动。5.1两自由度系统的模态21121222223200uk+km-ku-kk+km2()KMu0()cos()xttu代入运动微分方程上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：2KM05.1两自由度系统的模态0MxKx化简可得代数齐次方程组21212222320k+km-k-kk+km这就是两自由度系统的频率方程，也称特征方程主振动5.1两自由度系统的模态对于两自由度系统，存在2个特征值和特征向量。记：u（i）为对应于特征值的特征向量，称为第i阶主振型（又称固有振型）ωi通常按升序排列，称其为第i阶固有频率。𝒖(𝟏)和𝒖(𝟐)也被称为系统的模态向量。2KM0特征方程2()KMu0特征值ω2特征向量u2i对于两自由度系统，存在2个特征值和特征向量。记：u（i）为对应于特征值的特征向量，称为第i阶主振型（又称固有振型）ωi通常按升序排列，称其为第i阶固有频率。𝒖(𝟏)和ω1也被称为系统的模态向量。每一个模态向量和相应的固有频率构成系统的一个模态。𝒖(𝟏)和ω1组成第一阶模态，𝒖(𝟐)和ω2组成第二阶模态。两自由度系统正好有两个模态，代表两种形式的同步运动。5.1两自由度系统的模态2i5.1两自由度系统的模态5.2.3系统的通解为了书写简便，引入符号：121mKKa12mKb22mKc232KKdm2KM021212222320k+km-k-kk+km220abcd42()()0adadbc5.1两自由度系统的模态5.2.3系统的通解频率方程是ω2的二次代数方程，它的两个特征根为42()()0adadbc)(22222,1bcaddadabcdada222121mKKa12mKb22mKc221mKKd弹簧刚度和质量恒为正数，a，b，c，d的值都是正数2122和都是实根之间有两个确定的比值。19固有振型将特征值2122和分别代回方程组212212()0()0aubucudu任一式(1)2211(1)211(2)2222(2)212uacvubduacvubd对应于2122和，振幅A1和A2这个比值称为振幅比虽然振幅大小与初始条件有关，但当系统按任一固有频率振动时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。5.1两自由度系统的模态固有振型（主振型）对应于2122和振幅A1和A2，之间有两个确定的比值。1122sinsinxutxut两个质量任一瞬时的位移的比值x1/x2也同样是确定的，并且等于振幅比𝑢1/𝑢2o在振动过程中系统各点位移的相对比值都可由振幅比𝑢1/𝑢2确定o振幅比决定了整个系统的振动形态，称为主振型5.1两自由度系统的模态固有振型（主振型）bcdada222,1222222)2(1)2(222121)1(1)1(21dcbaAAvdcbaAAv022102212221bcdadabvbcdadabvo说明系统以频率ω1振动时，质量与总是按同一个方向运动，而以频率ω2振动时，则按相反方向运动。5.1两自由度系统的模态主振动系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为系统的主振动第一阶主振动为(1)(1)1111(1)(1)(1)22111111cos()cos()cosxutxutvut第二阶主振动为(2)(2)1122(2)(2)(2)22222122cos()cos()cosxAtxAtvAt系统作主振动时，各点同时经过静平衡位置和到达最大偏离位置，以确定的频率和振型作简谐振动。5.1两自由度系统的模态例1试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量k1＝k2＝k3＝k，物体的质量m1＝m，m2＝2m。分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示，它们的运动微分方程分别为022022122111kxkxxmkxkxxm解：（1）建立运动微分方程式5.1两自由度系统的模态00222002121xxkkkkxxmmmm200M质量矩阵刚度矩阵0)22)(2(022222222kmkmkmkkkmk将M和K代入频率方程，得mk634.021mkmk796.0634.01系统的第一阶和第二阶固有频率为mkmk538.1.366.22mk366.222kkkk22K（2）解频率方程，求ωi5.1两自由度系统的模态将、分别代入，得2122732.0122112112111)1(1)1(21kmkkmkAA732.2122212112211)2(1)2(22kmkkmkAA(1)(1)2(1)110.732uuu（3）求主振型主振型为(2)(2)2(2)112.732uuu节点5.1两自由度系统的模态例2在上题所示系统中，已知m1=m2=m,k1=k3=k,k2=4k，求该系统对以下两组初始条件的响应：（1）t＝0，x10＝1cm，;（2）t＝0，x10＝1cm，。0201020xxx0,cm1201020xxxkkkkkkkkkkmm5445,00322221KM将M、K代入频率方程，得mkmk3,21对应的两个主振型和振幅比为(1)(2)22(1)(2)1111,11uuuu(1)(2)2212(1)(2)111,1uuuu解：系统的质量矩阵和刚度矩阵为5.1两自由度系统的模态(1)(2)101112(1)(2)20111212(1)(2)10111122(1)(2)2011111222cos()cos()1cos()cos()0sin()sin()0sin()sin()0xututxut