小波分析信号处理(matlab)

1信号处理2小波基础线性代数（高等代数）；数字信号处理；泛函分析初步；Matlab数字图像处理；3isaset,ifaSandbSa+bS((or),aSSWecallalinearspace.SRCaS加法满足对称性、交换律和结合律）（数乘满足结合律和分配律，有0元）Y=kx与y=kx+bLinearspace（线性空间）4Normedspace（赋范空间与范数）isalinearspaceonnumberdomainRorC,foreachanormfunctionisdefined.Anon-negativefunction||||iscalledanormfunctionifandonlyif,,()1.||||0,||||002.XxXxyXRCxxx，||||||||||||3.||||||||||xyxyxx绝对值=模=长度=距离=范数5Examplesn12222ba22EuclideanspaceRS=[,,]|,[,]isasetoffunctions[,]()||()|x,y=()():(),|||,nkkkbakkkkxxxxCxyxyLabLabxtxtdtxtytdtlxkzxxyxy6HilbertSpace（内积与希尔伯特空间）AHilbertSpaceisalinearspaceXequippedwithadotproductwhichisalsocalledinnerproduct.Afunction(realorcomplex),isainnerproduct()ifandonlyiffor,,anda,bC1.,xyzXx内积,;2.,0,and,00;3.,,,and,,4.,,,Defineanorm:||||=,,underwhichXiscomplete.yyxxxxxxaxyaxyxayaxyxyzxzyzxxx7OrthogonalityIf,0,wesayandisorthogonal.DenotedbyAisasubsetofHilbertspaceX,,yA,0,wesaythatisorthogonaltosetA.Denotedbyandaretwosubsetsof,ifandxyxyxyxXxyxxAABXxA,wehave,wesayandareorthogonaltoeachother.DenotedbyyBxyABAB8Orthogonalsystem（正交系）isasubsetofHilbertspace,iffordifferentand,,0,wecallaorthogonalsystem.If,1,iscalledastandardorthogonalsystem()alsocalledorthonormalsystem.kjkjkkjjkxXxxxxxxxx标准正交系，9Basis（基）isasubsetofHilbertspace,if1.,wherearenumbers2.00Wesaythatisabasisof.Ifisorthogonalsystem,wesaythatisaorthogonalbasisofkkkkkkkkkkxXxXxcxccxcxXxxX线性无关向量线性表出10Directsum（直和）andaretwosubspacesofHilbertspace,:|,WesaythatCisthesumofAandB.Additionally,if,wesayCisthedirectsumofAandB,denotedbyandarecomplemetaryABXCABxyxAyBABCABABin,,CBAAB11线性空间空间内元素满足线性运算线性赋范空间巴拿赫空间希尔伯特空间欧氏空间酉空间L2空间线性+范数+完备线性+范数+完备+内积线性+范数线性空间12函数——映射f:数集X——数集Y。例：y=f(x)泛函——映射J:抽象集X——数集Y。例：y=J[f(x)]=F(x)+c算子——映射A:抽象集X——抽象集Y。例：y=Ax(x,y都是向量)13电脑不能处理无限的，连续的数据。例如：无穷大，趋于0，连续函数电脑只能处理离散的，有限长的数据序列。例如：t=0:0.001:1024数据长度有限（不是无穷大）数据间隔有限（不是无穷小）（离散）14信号——时间域：反映不同时间点的情况频率域：F变换系数空间域：传播距离，对应深度等同一点不同时刻的振动——y=sin(t)t——时间y——幅度离散——是对时间进行间隔采样（x轴离散）量化——就是对幅度也离散（y轴离散）数字信号——只有二者都离散后，才可称为~。（才可以在电脑上处理）15采样点间隔：一般是等时间间隔采样（ts）（等步长）采样点数：数出一共取了多少个样点(N点)采样总长度=离散总长度=（点数-1）x间隔例如：t=1:0.01:1024若ts单位是秒，则总时间t=(1024-1)x0.01=10.23(s)采样频率：fs=1/ts=100(Hz)16信号（周期的）本身频率——y=sin(t)信号周期T=2pi/1信号频率f=1/T=1/2pi采样周期（间隔）——0：0.01：1024采样周期ts=0.01采样频率fs=1/ts=1/0.01=100时间采样频率是频谱信号的信号周期频率离散间隔对应时间信号的信号同期172.f(t)的频谱（线频谱）f(t)分解为傅氏级数后包含哪些频率分量和各分量所占“比重”用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段进行表示，并按频率的高低把它们依次排列起来所得到的图形，称为f(t)的频谱。幅度频谱：表示出各谐波分量的振幅。相位频谱：把各次谐波的初相用相应的线段依次排列得到。18利用FFT进行频谱分析利用FFT进行频谱分析的基本方法)()()]([)(kjXkXnxFFTkXIR)(nx设为长为N的有限长序列，则：)()(kjekX)()()(22kXkXkXIR幅度谱：)()()(kXkXarctgkRI相位谱：利用FFT进行频谱分析的实现过程框图为：N=2m19离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续()()jjnnXexne1()()2jjnxnXeed20图17-8当T=2,5,10时周期矩形波的频谱)(tfT2t20T1矩形周期信号（不变，T变化时）的频谱时间信号周期越大频率离散间隔越小21时间采样频率是频谱信号的信号周期频率离散间隔对应时间信号的信号同期时间信号本身周期T0——信号频率F0时间信号采样周期T——采样频率fs频率信号本身周期fs频率采样间隔F0F0=fs/N=Ω/2Π时间信号一个周期长度T0=NT时间信号一个周期采样点数NN=T0/T=(1/F0)/(1/fs)=fs/F022几个常用基本概念利用FFT进行频谱分析1、数字频率分辨率：2、模拟频率分辨率：3、用于FFT的采样点数：4、频率刻度值：5、模拟信号长度：6、分辨率：2NFffNss2FfNs2/,,1,0NkkNffskNTfNtsp/ptF/123例1-1在某工程实际应用中，有一信号的主要频率成分是由50Hz和300Hz的正弦信号组成，该信号被一白噪声污染，现对该信号进行采样，采样频率为1000Hz。通过傅里叶变换对其频率成分进行分析。24解该问题实质上是利用傅里叶变换对信号进行频域分析，其MATLAB程序如下：t＝0：0.001：1.3；%时间间隔为0.001说明采样频率为1000Hzx＝sin(2*pi*50*t)＋sin(2*pi*300*t)；%频率为50Hz和300Hz的信号f＝x＋3.5*randn(1，length(t))；%在信号中加入白噪声subplot(321)；plot(f)；%画出原始信号的波形图Ylabel(¢幅值¢)；Xlabel(¢时间¢)；title(¢原始信号¢)；y＝fft(f，1024)；%对原始信号进行离散傅里叶变换，参加DFT的采样点个数为1024p＝y.*conj(y)/1024；%计算功率谱密度ff＝1000*(0：511)/1024；%计算变换后不同点所对应的频率值subplot(322)；plot(ff，p(1：512))；%画出信号的频谱图Ylabel(¢功率谱密度¢)；Xlabel(¢频率¢)；title(¢信号功率谱图¢)；程序输出结果如图1.1所示。25从图1.1(a)中我们看不出任何频域的性质，但从信号的功率谱图(图1.1(b))中，我们可以明显地看出该信号是由频率为50Hz和300Hz的正弦信号和频率分布广泛的白噪声信号组成的，也可以明显地看出信号的频率特性。26tFtftd)(eπ21)(-idt)(e)(-itfFtnnCtfinte)(基一维27小波分解和小波基小波基D小波基A原始信号小波系数wd小波系数wa正变换：原始信号在小波基上，获得“小波系数”分量反变换：所有“小波分解”合成原始信号例如：小波分解a=小波系数wa×小波基A基二维28小波基表示发生的时间和频率“时频局域性”图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）的比较傅里叶变换(Fourier)基小波基时间采样基29小波原始信号分解过程：原始信号s可分解成小波近似a与小波细节d之和。s=a+d小波系数w=[wa,wd]的分量，乘以基函数，形成小波分解：小波近似系数wa×基函数A=近似分解a---平均小波细节系数wd×基函数D=细节分解d---变化30小波分析在一维信号处理中的应用小波变换就是将“原始信号s”变换成“小波系数w”，w=[wa,wd]包括近似(approximation)系数wa与细节(detail)系数wd近似系数wa---平均成分（低频）细节系数wd---变化成分（高频）312101200Anestedspacesandfunction()iscalledaMultiresolutionAnalysisiftheysatisefythefollowingcondition:1.2.(),03.()(2)4.()()jjjiiVVVVVVLRVftVftVftVftn00,5.thereexistsaorthonormalbasisfor:()|VnZVtnnZ由尺度函数得到正交小波基32nDnAnDwnAwndnansJjnDnswnAns],,,[.,,1111离散小波变换公式信号s有M个样本，J级小波变换：小波分解小波系数正变换反变换小波基函数