高考数学冲刺专题复习之――平面向量(教师版)

高考数学（文）冲刺专题复习之——平面向量一、知识点梳理（一）平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(与AB共线的单位向量是||ABAB)．(4)平行向量（又叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行（共线）。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点ABC、、共线ABAC、共线；(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量，相等向量有传递性．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)（1）定义：①加法：（1）向量加法的三角形法则：ACBCAB；其要求是：（Ⅰ）前一向量的终点与后一向量的起点的重合，（Ⅱ）由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。（2）向量加法的平行四边形法则：其要求是：（Ⅰ）把两个向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，（Ⅱ）向量的和为这两邻边所夹的对角线。（3）由有向线段首尾顺次相接所围成的封闭图形结果为0。即：（Ⅰ）0CABCAB（三角形三边的向量和）（Ⅱ）032211AAAAAAAAn。一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．②减法：OBOABA，其要求是：（1）两个向量的起点为同一点，（2）由后一个向量的终点指一向前向量(2)坐标运算：若a=（11,yx）,b=（22,yx）则ab=（2121,yyxx）．（3）几何表示：平行四边形法则、三角形法则以向量AB=a、AD=b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量AC=a+b,BD=b－a,DB=a－b且有︱a︱－︱b︱≤︱ab︱≤︱a︱+︱b︱．3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.(3)若a=（11,yx），则·a=（11,yx）．4．共线向量定理(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=a．(2)若a=（11,yx）,b=（22,yx）则a∥b01221yxyx．注意：(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．（二）平面向量的基本定理及其坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．注意：（1）向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝OA→＝(x，y)．当平面向量OA→平行移动到O1A1→时，向量不变，即O1A1→＝OA→＝(x，y)，但O1A1→的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．（2）误区1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.（三）平面向量的数量积1．两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中︱b︱cos称为向量b在a方向上的投影。规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.3．向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的数量积．4．向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；(2)a⊥ba·b=0（a，b为非零向量）；(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|，特别的，a·a＝|a|2或者︱a︱=2121yxaa；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；当为锐角时，ab＞0，且ab、不同向，0ab是为锐角的必要非充分条件（因a和b的夹角可能为0°）；当为钝角时，ab＜0，且ab、不反向，0ab是为钝角的必要非充分条件（因a和b的夹角可能为180°）；(4)cosθ＝a·b|a||b|；得||||||abab(5)|a·b|≤|a||b|.5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即cbacba)()(，为什么？6．平面向量数量积的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)|a|＝x21＋y21；(3)cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22；(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.7．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB→＝a，则|a|＝x1－x22＋y1－y22(平面内两点间的距离公式)．注意：(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等．(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，AB→与BC→的夹角应为120°，而不是60°.（三）平面向量的应用1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(θ为a与b的夹角)．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．一个手段实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．6.主要思想与方法：本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。归纳总结：1、平面向量的坐标运算①若a⃗=（x1,y1），b⃗=（x2,y2）则a⃗+b⃗=（x1+x2,y1+y2），a⃗−b⃗=（x1-x2,y1-y2），②若a=（x,y），λ∈R，则λa=（λx,λy），③坐标向量的大小|a|=√x2+y2④两向量平行（共线）的充要条件：若a=（x1,y1），b=（x2,y2），//abab22()(||||)abab1212xyyx＝0⑤若A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=（x2-x1,y2-y1）⑥距离公式：|AB|=√（x1−x2）2+(y2−y1)2⑦若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∙b=（x1，y1）∙（x2，y2）=x1x2+y1y2。⑧向量垂直的充要条件：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则0||||abababab12120xxyy.特别地()()ABACABACABACABAC⑨向量夹角公式的坐标表示：两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a、b的夹角为θ，则cosθ=212221212121yxyxyyxx2、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）||||||||||||ababab，特别地：当ab、同向或有0||||||abab||||||||abab；当ab、反向或有0||||||abab||||||||abab；当ab、不共线||||||||||||ababab(这些和实数比较类似).（3）在ABC中：①若112233,,,,,AxyBxyCxy，则其重心的坐标为123123,33xxxyyyG；②1()3PGPAPBPCG为ABC的重心，特别地0PAPBPCP为ABC的重心；③PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；④向量()(0)||||ACAB