高考数学北师大版(通用,理)总复习讲义 8.6 立体几何中的向量方法(一)――证明平行与垂直

§8.6立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量：在空间直线l上任取两点A，B，则称AB→为直线l的方向向量．平面的法向量：如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量叫作平面α的法向量．2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或lα⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或lα⇔v⊥u.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．(×)(2)平面的单位法向量是唯一确定的．(×)(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．(×)(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．(√)(5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．(×)(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(×)2．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则()A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确答案B解析a·b＝－12＋36－24＝0，故a⊥b，即l1⊥l2选B.3．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是()A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3，－3,4)答案A解析逐一验证法，对于选项A，MP→＝(1,4,1)，∴MP→·n＝6－12＋6＝0，∴MP→⊥n，∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．4．若A(0,2，198)，B(1，－1，58)，C(－2,1，58)是平面α内的三点，设平面α的法向量n＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.答案2∶3∶(－4)5．已知AB→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)，若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为______________．答案407，－157，4解析由题意知，BP→⊥AB→，BP→⊥BC→.所以AB→·BC→＝0，BP→·AB→＝0，BP→·BC→＝0，即1×3＋5×1＋－2×z＝0，x－1＋5y＋－2×－3＝0，3x－1＋y－3z＝0，解得，x＝407，y＝－157，z＝4.题型一证明平行问题例1(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.思维启迪证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行，也可利用平面的法向量．证明方法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知，A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0)．设点C的坐标为(x0，y0,0)．因为AQ→＝3QC→，所以Q34x0，24＋34y0，12.因为M为AD的中点，故M(0，2，1)．又P为BM的中点，故P0，0，12，所以PQ→＝34x0，24＋34y0，0.又平面BCD的一个法向量为a＝(0,0,1)，故PQ→·a＝0.又PQ⃘平面BCD，所以PQ∥平面BCD.方法二在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同证法一建立空间直角坐标系，写出点A、B、C的坐标，设点C坐标为(x0，y0,0)．∵CF→＝14CD→，设F点坐标系(x，y,0)则(x－x0，y－y0,0)＝14(－x0，2－y0,0)∴x＝34x0y＝24＋34y0∴OF→＝(34x0，24＋34y0,0)又由证法一知PQ→＝(34x0，24＋34y0,0)，∴OF→＝PQ→，∴PQ∥OF.又PQ⃘平面BCD，OF平面BCD，∴PQ∥平面BCD.思维升华用向量证明线面平行的方法有(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.证明∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)．∴PB→＝(2,0，－2)，FE→＝(0，－1,0)，FG→＝(1,1，－1)，设PB→＝sFE→＋tFG→，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴t＝2，t－s＝0，－t＝－2，解得s＝t＝2.∴PB→＝2FE→＋2FG→，又∵FE→与FG→不共线，∴PB→、FE→与FG→共面．∵PB⃘平面EFG，∴PB∥平面EFG.题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.思维启迪证明线面垂直可以利用线面垂直的定义，即证线与平面内的任意一条直线垂直；也可以证线与面的法向量平行．证明方法一设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m＝λBA1→＋μBD→.令BB1→＝a，BC→＝b，BA→＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它们为空间的一个基底，则BA1→＝a＋c，BD→＝12a＋b，AB1→＝a－c，m＝λBA1→＋μBD→＝λ＋12μa＋μb＋λc，AB1→·m＝(a－c)·λ＋12μa＋μb＋λc＝4λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB1→⊥m，结论得证．方法二如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，以OB→，OO1→，OA→为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，BA1→＝(－1,2，3)，BD→＝(－2,1,0)．因为n⊥BA1→，n⊥BD→，故n·BA1→＝0，n·BD→＝0⇒－x＋2y＋3z＝0，－2x＋y＝0，令x＝1，则y＝2，z＝－3，故n＝(1,2，－3)为平面A1BD的一个法向量，而AB1→＝(1,2，－3)，所以AB1→＝n，所以AB1→∥n，故AB1⊥平面A1BD.思维升华用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.证明以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4.∴D(0,1,0)，B(23，0,0)，A(23，4,0)，P(0,0,2)，M(32，0，32)，∴DP→＝(0，－1,2)，DA→＝(23，3,0)，CM→＝(32，0，32)，(1)令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则DP→·n＝0，DA→·n＝0，即－y＋2z＝0，23x＋3y＝0，∴z＝12y，x＝－32y，令y＝2，得n＝(－3，2,1)．∵n·CM→＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n⊥CM→，又CM⃘平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)取AP的中点E，则E(3，2,1)，BE→＝(－3，2,1)．∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又∵BE→·DA→＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，∴BE→⊥DA→，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD，又∵BE平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.题型三解决探索性问题例3(2012·福建)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．思维启迪利用向量法建立空间直角坐标系，将几何问题进行转化；对于存在性问题可通过计算下结论．(1)证明以A为原点，AB→，AD→，AA1→的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，Ea2，1，0，B1(a,0,1)，故AD1→＝(0,1,1)，B1E→＝－a2，1，－1，AB1→＝(a,0,1)，AE→＝a2，1，0.∵AD1→·B1E→＝－a2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1.(2)解假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)．使得DP∥平面B1AE，此时DP→＝(0，－1，z0)．又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．∵n⊥平面B1AE，∴n⊥AB1→，n⊥AE→，得ax＋z＝0，ax2＋y＝0.取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝1，－a2，－a.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP→，有a2－az0＝0，解得z0＝12.又DP⃘平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝12.思维升华对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证．另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．(1)证明连接BD，设AC交BD于O，则AC⊥BD.由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，OB→，OC→，OS→分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系如图．设底面边长为a，则高SO＝62a，于是S0，0，62a，D－22a，0，0，B22a，0，0，C0，22a，0，OC→＝0，22a，0，SD→＝－22a，0，－62a，则OC→·SD→＝0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.(2)解棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.理由如下：由已知条件知DS→是平面PAC的一个法向量，且DS→＝2