高考数学复习专题七系列4选讲第二讲不等式选讲课件文

年份卷别考查内容及考题位置命题分析Ⅰ卷绝对值不等式的解法、不等式的应用及恒成立问题·T23Ⅱ卷绝对值不等式的解法、不等式的应用及恒成立问题·T232018Ⅲ卷分段函数图象的画法与应用·T231.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2.此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.年份卷别考查内容及考题位置命题分析Ⅰ卷含绝对值不等式的解法、求参数的取值范围·T23Ⅱ卷基本不等式的应用、一些常用的变形及证明不等式的方法·T232017Ⅲ卷含绝对值不等式的解法、函数最值的求解·T231.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2.此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.年份卷别考查内容及考题位置命题分析Ⅰ卷含绝对值不等式的解法、分段函数的图象·T24Ⅱ卷含绝对值不等式的解法、比较法证明不等式·T242016Ⅲ卷含绝对值不等式的解法、绝对值不等式的性质·T241.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2.此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.[悟通——方法结论]1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法(1)若c＞0，则|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的取值求解即可；(2)若c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法(1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；(2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；(4)这些解集的并集就是原不等式的解集．(2017·高考全国卷Ⅰ)(10分)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．[规范解答](1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①当x－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；(2分)当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1x≤－1＋172.(4分)所以f(x)≥g(x)的解集为x－1≤x≤－1＋172.(5分)(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等价于当x∈[－1,1]时f(x)≥2.(8分)又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1]．(10分)【类题通法】1．零点分段求解绝对值不等式的模型(1)求零点；(2)划区间，去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值号的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值．2．绝对值不等式的成立问题的求解模型(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a≥f(x)或a≤f(x)形式；(2)转化最值：f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a；f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a；f(x)＞a有解⇔f(x)max＞a；f(x)＜a有解⇔f(x)min＜a；f(x)＞a无解⇔f(x)max≤a；f(x)＜a无解⇔f(x)min≥a；(3)得结论.[练通——即学即用]1．(2018·洛阳模拟)已知函数f(x)＝13|x－a|(a∈R)．(1)当a＝2时，解不等式|x－13|＋f(x)≥1；(2)设不等式|x－13|＋f(x)≤x的解集为M，若[13，12]⊆M，求实数a的取值范围．解析：(1)当a＝2时，原不等式可化为|3x－1|＋|x－2|≥3.①当x≤13时，原不等式可化为－3x＋1＋2－x≥3，解得x≤0，所以x≤0；②当13＜x＜2时，原不等式可化为3x－1＋2－x≥3，解得x≥1，所以1≤x＜2；③当x≥2时，原不等式可化为3x－1＋x－2≥3，解得x≥32，所以x≥2.综上所述，当a＝2时，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}．(2)不等式|x－13|＋f(x)≤x可化为|3x－1|＋|x－a|≤3x，依题意知不等式|3x－1|＋|x－a|≤3x在[13，12]上恒成立，所以3x－1＋|x－a|≤3x，即|x－a|≤1，即a－1≤x≤a＋1，所以a－1≤13，a＋1≥12，解得－12≤a≤43，故所求实数a的取值范围是[－12，43]．2．(2018·浦东五校联考)已知函数f(x)＝m－|x－1|－|x＋1|.(1)当m＝5时，求不等式f(x)＞2的解集；(2)若二次函数y＝x2＋2x＋3与函数y＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．(1)当m＝5时，f(x)＝5＋2xx＜－1，3－1≤x≤1，5－2xx＞1，由f(x)＞2得不等式的解集为{x|－32＜x＜32}．(2)因为y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，所以该函数在x＝－1处取得最小值2，因为f(x)＝m＋2xx＜－1，m－2－1≤x≤1，m－2xx＞1在x＝－1处取得最大值m－2，所以要使二次函数y＝x2＋2x＋3与函数y＝f(x)的图象恒有公共点，只需m－2≥2，即m≥4.[练通——即学即用][悟通——方法结论]绝对值不等式中蕴含最佳思想，即可利用|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|去求形如f(x)＝|x－a|＋|x－b|或f(x)＝|x－a|－|x－b|的最值．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．解析：(1)f(x)＝－3，x－1，2x－1，－1≤x≤2，3，x2.当x－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得，2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x2时，由f(x)≥1解得x2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－|x|－322＋54≤54，且当x＝32时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝54.故m的取值范围为－∞，54.2．(2018·成都模拟)已知函数f(x)＝|x－2|＋k|x＋1|，k∈R.(1)当k＝1时，若不等式f(x)＜4的解集为{x|x1＜x＜x2}，求x1＋x2的值；(2)当x∈R时，若关于x的不等式f(x)≥k恒成立，求k的最大值．[全练——快速解答]解析：(1)由题意，得|x－2|＋|x＋1|＜4.当x＞2时，原不等式可化为2x＜5，∴2＜x＜52；当x＜－1时，原不等式可化为－2x＜3，∴－32＜x＜－1；当－1≤x≤2时，原不等式可化为3＜4，∴－1≤x≤2.综上，原不等式的解集为{x|－32＜x＜52}，即x1＝－32，x2＝52.∴x1＋x2＝1.(2)由题意，得|x－2|＋k|x＋1|≥k.当x＝2时，即不等式3k≥k成立，∴k≥0.当x≤－2或x≥0时，∵|x＋1|≥1，∴不等式|x－2|＋k|x＋1|≥k恒成立．当－2＜x≤－1时，原不等式可化为2－x－kx－k≥k，可得k≤2－xx＋2＝－1＋4x＋2，∴k≤3.当－1＜x＜0时，原不等式可化为2－x＋kx＋k≥k，可得k≤1－2x，∴k＜3.综上，可得0≤k≤3，即k的最大值为3.【类题通法】不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a；f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a；f(x)＞a有解⇔f(x)max＞a；f(x)＜a有解⇔f(x)min＜a；f(x)＞a无解⇔f(x)max≤a；f(x)＜a无解⇔f(x)min≥a.[悟通——方法结论]证明不等式的5个基本方法(1)比较法：作差或作商比较．(2)综合法：根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论．(3)分析法：执果索因的证明方法．(4)反证法：反设结论，导出矛盾．(5)放缩法：通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知a＞0，b＞0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3a＋b24(a＋b)＝2＋3a＋b34，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.2．(2018·南宁柳州联考)已知函数f(x)＝|x－1|.(1)求不等式f(x)≥3－2|x|的解集；(2)若函数g(x)＝f(x)＋|x＋3|的最小值为m，正数a，b满足a＋b＝m，求证：a2b＋b2a≥4.解析：(1)当x≥1时，x－1≥3－2x，解得x≥43，∴x≥43；当0＜x＜1时，1－x≥3－2x，解得x≥2，无解；当x≤0时，1－x≥3＋2x⇒x≤－23，∴x≤－23.∴原不等式的解集为{x|x≥43或x≤－23}．(2)证明：法一：∵g(x)＝|x－1|＋|x＋3|≥|(x－1)－(x＋3)|＝4，∴m＝4，即a＋b＝4.又a2b＋b≥2a，b2a＋a≥2b，∴两式相加得(a2b＋b)＋(b2a＋a)≥2a＋2b，∴a2b＋b2a≥a＋b＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立．法二：∵g(x)＝|x－1|＋|x＋3|≥|(x－1)－(x＋3)|＝4，∴m＝4，即a＋b＝4，由柯西不等式得(a2b＋b2a)(b＋a)≥(a＋b)2，∴a2b＋b2a≥a＋b＝4，当且仅当a2bb＝b2aa，即a＝b＝2时等号成立．【类题通法】不等式证明的常用方法对于不等式的证明问题常用比较法、综合法和分析法．(1)一般地，对于含根号的不等式和含绝对值的不等式的证明，“平方法”(即不等号两边平方)是其有效方法．(2)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出，则考虑用反证法．(3)能转化为比较大小的可以用比较法．(4)利用基本不等式证明的多用综合法与分析法.