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掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.1．正弦定理和余弦定理[思考探究]在△ABC中，sinA＞sinB与A＞B间有何关系？提示：在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件.因为sinA＞sinB⇔⇔a＞b⇔A＞B.2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形A为锐角A为钝角或直角关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数一解两解一解一解无解1.已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于()A.135°B.90°C.45°D.30°解析：根据正弦定理得：⇒sinA＝，又ab，∴AB，A＝45°.答案：C2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB等于()解析：∵a，b，c成等比数例，∴b2＝ac，∴cosB＝＝答案：B3.已知△ABC中，b＝2，c＝，三角形面积S＝，则角A等于()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°解析：由S＝bcsinA可得sinA＝，∴A＝60°或120°.答案：D4.已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为.解析：如图所示，B＝60°，AB＝1，BD＝2.由余弦定理知答案：5.△ABC中，若acosB＝bcosA，则△ABC的形状是.解析：acosB＝bcosA⇒＝⇒sinAcosB－cosAsinB＝0⇒sin(A－B)＝0，又∵A、B为△ABC的内角，∴A－B＝0，即A＝B.∴△ABC为等腰三角形.答案：等腰三角形1.已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断.2.应熟练掌握余弦定理及其推论.解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.3.三角形中常见的结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(1)在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求角A、C和边c的值.(2)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanB＝试求角B的大小.[思路点拨][课堂笔记](1)∵B＝45°＜90°，且asinB＜b＜a，∴△ABC有两解.由正弦定理，得即sinA＝∴A＝60°或120°.①当A＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝75°，此时c＝②当A＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝15°，此时c＝∴A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝(2)由余弦定理，得cosB＝∴a2＋c2－b2＝2accosB.故由tanB＝得∵B∈(0,180°)，∴B＝60°或B＝120°.若将例(2)中的“tanB＝”改换为“4sin2－cos2B＝”，如何求解？解：∵4sin2－cos2B＝∴2[1－cos(A＋C)]－2cos2B＋1＝，则4cos2B－4cosB＋1＝0，解之得cosB＝，又∵0°＜B＜180°，∴B＝60°.依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两种方法：1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.[特别警示]判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意，“等腰三角形”和“等腰直角三角形”的判定.在△ABC中，已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状.[思路点拨][课堂笔记]法一：由已知a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正弦定理，sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0，∴sin2A＝sin2B，∵A、B为三角形内角，∴得2A＝2B或2A＝π－2B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形.法二：同上可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正、余弦定理，即得∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2，∴三角形为等腰三角形或直角三角形.若将条件改为“”，该三角形的形状又如何？解：法一：(利用边的关系来判断)：⇒acosA＝bcosB⇒a··b⇒a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)⇒c2(a2－b2)＝a4－b4＝(a2＋b2)(a2－b2)⇒(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0⇒a2－b2＝0，或a2＋b2－c2＝0⇒a＝b，或a2＋b2＝c2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.法二：(利用角的关系来判断)：⇒sinAcosA＝sinBcosB⇒sin2A＝sin2B⇒2A＝2B或2A＝π－2B⇒A＝B或A＋B＝.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.1.三角形面积公式的选取取决于三角形中的哪个角可求，或三角形的哪个角的正弦值可求.2.在解决三角形问题中，面积公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.(2009·安徽高考)在△ABC中，sin(C－A)＝，sinB＝(1)求sinA的值；(2)设AC＝，求△ABC的面积.[思路点拨][课堂笔记](1)由C－A＝和A＋B＋C＝π，得2A＝－B,0＜A＜.故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝，sinA＝.(2)由(1)得cosA＝.又由正弦定理，得＝，所以S△ABC＝AC·BC·sinC＝AC·BC·cosA＝.正弦定理和余弦定理是每年高考的必考内容，其考查题型多为选择题和解答题，主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形以及三角形面积公式的应用，常与三角恒等变换结合.09年天津高考则以选择题的形式考查了正弦定理的推论＝2R的应用，这是一个新的考查方向.[考题印证](2009·天津高考)如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝A1B1.若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为.【解析】∵AB∥A1B1且AB＝A1B1，∴△AOB∽△A1OB1，∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比.∴△A1OB1的外接圆直径为2.【答案】2[自主体验]已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为()解析：∵圆的半径为4，∴＝2R＝8又∵abc＝16∴S△＝答案：C1.(2009·福建高考)已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A.75°B.60°C.45°D.30°解析：由S△ABC＝BC·CA·sin∠ACB＝3，得sin∠ACB＝，而△ABC为锐角三角形，所以∠ACB＝.答案：B2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于()A.B.2C.D.解析：由正弦定理得∴sinC＝.又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，△ABC为等腰三角形，a＝c＝答案：D3．(2010·铜陵模拟)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且a＋c＝3，tanB＝，则△ABC的面积为()解析：因为a、b、c成等比数列，所以b2＝ac.又b2＝a2＋c2－2accosB，a＋c＝3，tanB＝故得sinB＝所以答案：A4.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若(b－c)cosA＝acosC，则cosA＝.解析：由正弦定理知，(sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC＝sin(A＋C)＝sinB，∵sinB≠0，∴cosA＝答案：5.在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定；②△ABC一定是钝角三角形；③sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3；④若b＋c＝8，则△ABC的面积是其中正确结论的序号是.解析：由已知可设b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k(k0)，则a＝k，b＝k，c＝k，∴a∶b∶c＝7∶5∶3，∴sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3，∴③正确；同时由于△ABC边长不确定，故①错；又cosA＝∴△ABC为钝角三角形，∴②正确；若b＋c＝8，则k＝2，∴b＝5，c＝3，又A＝120°，∴S△ABC＝bcsinA＝故④错.答案：②③6.(2009·全国卷Ⅱ)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A－C)＋cosB＝，b2＝ac，求∠B.解：由cos(A－C)＋cosB＝及B＝π－(A＋C)得cos(A－C)－cos(A＋C)＝，cosAcosC＋sinAsinC－(cosAcosC－sinAsinC)＝，sinAsinC＝.又由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC，故sin2B＝，sinB＝或sinB＝－(舍去).于是B＝或B＝.又由b2＝ac知b≤a或b≤c，所以B＝.