极限的概念与性质

目录上页下页返回结束第一章二、函数的极限三、函数的极限的性质一、数列的极限第二节极限的概念与性质目录上页下页返回结束自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。引言目录上页下页返回结束R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率的近似值为3.1416割圆术割圆术就是极限思想在几何上的应用目录上页下页返回结束微积分是一门以变量为研究对象、应用极限方法研究各类变化率问题应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到以极限方法作为研究工具的数学学科：曲线的切线问题，微小量无穷积累的问题，和几何学中就产生了微分学；就产生了积分学。目录上页下页返回结束一、数列极限的定义按照一定规律排列的一列数,,,,21nxxx,21,,81,41,21:21nn,1,,43,32,21:1nnnn,)1(,,1,1,1,1:)1(nn,3,,9,6,3:3nn.,2,1),(nnfxn数列可视为定义在自然数集上的函数：}{nx称为一个数列。nx称为数列通项，数列简记为。}{nx目录上页下页返回结束nx趋向于某个确定的数xyO...........,21,,81,41,21:21nn,)1(,,1,1,1,1:)1(nn不趋向于某个确定的数nx目录上页下页返回结束定义：.limaxnn设数列},{nx极限存在的数列称为收敛数列。极限不存在的数列称为发散数列。如果通项nx记作)(,naxn当项数无限增大时，n则称a的极限。}{nx为数列或,a无限趋近于某个常数目录上页下页返回结束例如,,1,,43,32,21nn1nnxn)(1nnnxnn1)1()(1n,2,,8,4,2nnnx2)(n1)1(nnx趋势不定收敛发散目录上页下页返回结束若数列及常数a有下列关系:当nN时,总有记作axan)(Nn即),(aUxn)(Nnaxnnlim或)(naxn则称该数列的极限为a,几何解释:aa)(1Nx2Nx只有有限项(至多N项)在邻域),(aU之外。数学定义：ε英文注音epsilon中文注音伊普西龙目录上页下页返回结束例1.已知证明数列的极限为1.证明:1nx1)1(nnn,0欲使即只要1n因此,取,]1[N则当Nn时,就有1)1(nnn故1)1(limlimnnxnnnn目录上页下页返回结束例2.已知证明证:0nx2)1(1n11n,)21,0(欲使只要,11n即n取,]11[N则当Nn时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn故也可取][1N也可由2)1(10nnx.111.N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取11N2.利用不等式的放缩.目录上页下页返回结束例3.设,1q证明等比数列证:0nx欲使只要即亦即因此,取qNlnln1,则当nN时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0.目录上页下页返回结束例4.证明：,limAann若.lim21Anaaann则记,121AaAaAaMN易知.0limnMn当2Nn时，.2nM},,max{21NNN取则当Nn时，有,limAann由于,0故时，当1Nn,2Aan,1N正整数于是,2N正整数目录上页下页返回结束21nNnnMAnaaan21nAaAaAaAaAanNN)()(12111nAaAanAaAaAanNN||||||||||12111.lim21Anaaann所以.22目录上页下页返回结束第一章1、自变量趋于有限值时函数的极限自变量变化过程的六种形式:2、左极限、右极限主要内容:二、函数的极限3、自变量趋于无穷大时函数的极限目录上页下页返回结束定义1.在点的某去心邻域内有定义,,0,0当00xx时,有Axf)(则称常数A为函数当时的极限,Axfxx)(lim0或即当时,有若记作AA几何解释:OAx0xy)(xfy1、自变量趋于有限值时函数的极限设函数()目录上页下页返回结束例1.证明证:Axf)(故,0取,当时,必有2112xx因此211lim21xxx(注意x=1无定义)目录上页下页返回结束例2.证明:当证:001xxx欲使,0且而可用因此只要00limxxxx时故取,,min00xx则当00xx时,保证.必有Ox0xx目录上页下页返回结束2.左极限与右极限(单侧极限)左极限:)(0xf)(lim0xfxx,0,0当),(00xxx时,有右极限:)(0xf)(lim0xfxx,0,0当),(00xxx时,有定理1.Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00Axf)0(0Axf)0(0目录上页下页返回结束例3.给定函数0,10,00,1)(xxxxxxf讨论0x时)(xf的极限是否存在.解:利用定理1.因为)(lim0xfx)1(lim0xx1)(lim0xfx)1(lim0xx1显然,)0()0(ff所以)(lim0xfx不存在.xyO11xy11xy目录上页下页返回结束.312lim4xx例4.0,12,0,)(xxxexfx求).(lim),(lim04xfxfxx解:)(lim4xfx1lim0xxe.112lim0xx)(lim0xfx)(lim0xfx)(lim0xfx,1)(lim0xfx因为所以.1)(lim0xfx设目录上页下页返回结束XXAAOxy)(xfyA定义2.设函数大于某一正数时有定义,若,0X则称常数时的极限,Axfx)(lim几何解释:AxfA)(XxXx或记作直线y=A为曲线的水平渐近线.,0A为函数3、自变量趋于无穷大时函数的极限目录上页下页返回结束例5.证明.01limxx证:01xx1取,1X因此注:就有故,0欲使只要Oxyxy1目录上页下页返回结束x1x11直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.两种特殊情况:Axfx)(lim,0,0X当时,有Axf)(,0,0X当Xx时,有Axf)(几何意义:例如，都有水平渐近线;0y都有水平渐近线.1y又如，目录上页下页返回结束三、函数极限的性质1.唯一性类似于数列极限的唯一性（反证法）2.局部有界性;)(0的某去心邻域内有界在函数xxf:)(lim0xfxx充分大时有界。当函数xxf)(:)(limxfx),(0xU(性质适用于函数的所有极限过程)Xx若函数极限存在，则函数极限唯一。目录上页下页返回结束3.局部保号性定理2.若且A0,.0)(xf)0)((xf证:已知即,0当时,有当A0时,取正数则在对应的邻域上(0))(A则存在(A0))0(AA0xAx0xy)(xfy目录上页下页返回结束:0A:0A若取,2A则在对应的邻域上若则存在使当时,有推论1.23)(2AxfA2)(23AxfA分析:AA0xAx0xy)(xfy目录上页下页返回结束推论2.若在的某去心邻域内0)(xf)0)((xf,且则.0A)0(A思考:若定理2中的条件改为,0)(xf是否必有?0A不能!如(反证法,证明略)目录上页下页返回结束4.函数极限的两边夹定理定理3.,),(0时当xUxAxhxgxxxx)(lim)(lim00,)()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0(Xx)(x)(x)(x且(仿照数列极限的两边夹定理证明)目录上页下页返回结束5.函数极限与数列极限的关系定理4.Axfxx)(lim0:nx,0xxn有定义,),(0nxxnAxfnn)(lim有)(nxfxnx说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1找一个数列,0xxn不存在.)(limnnxf使法2找两个趋于的不同数列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf目录上页下页返回结束例6.证明不存在.证:取两个趋于0的数列π21nxn及2ππ21nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理4知不存在.),2,1(n0π2sinlimnn1)π2sin(lim2πnn目录上页下页返回结束思考与练习1.若极限)(lim0xfxx存在,)()(lim00xfxfxx2.设函数)(xf且)(lim1xfx存在,则.a3是否一定有第四节1,121,2xxxxa？目录上页下页返回结束内容小结1.函数极限的或X定义及应用2.函数极限的性质.第四节目录上页下页返回结束作业习题一15(1)，(4),23(3)补三目录上页下页返回结束补充.证明.21523limxxx证:21523xx取},25),521(21max{X因此就有故,0欲使只要)52(21x,21523xx又故只要,21523xx.21523limxxx即