极限的运算和两个重要极限

§2、3极限的运算和两个重要极限一、极限的四则运算二、两个重要极限三、无穷小量的比较说明：记号“lim”下面没有标明自变量的变化过程，实际上，下面的定理对x→X0及x→∞都成立。我们只证明x→X0的情形。定理.0,)()(lim)3(;)]()(lim[)2(;)]()(lim[)1(,)(lim,)(limBBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中则设证.)(lim,)(limBxgAxf.0,0.)(,)(其中BxgAxf由无穷小运算法则,得一、极限的四则运算)()]()([BAxgxf.0.)1(成立)()]()([BAxgxfABBA))(()(BA.0.)2(成立BAxgxf)()(BABA)(BBAB.0AB,0,0B又,0,00时当xx,2BBBBB21B21推论1).(lim)](lim[,,)(limxfcxcfcxf则为常数而存在如果常数因子可以提到极限记号外面..)]([lim)](lim[,,)(limnnxfxfnxf则是正整数而存在如果推论2,21)(2BBB,2)(12BBB故有界，.)3(成立求极限方法举例例1.531lim232xxxx求解)53(lim22xxx5lim3limlim2222xxxxx5limlim3)lim(2222xxxxx52322,03531lim232xxxx)53(lim1limlim22232xxxxxx.373123小结:则有设,)(.1110nnnaxaxaxfnnxxnxxxxaxaxaxf110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa10100).(0xf则有且设,0)(,)()()(.20xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000xQxPxfxxxxxx)()(00xQxP).(0xf.,0)(0则商的法则不能应用若xQ解)32(lim21xxx,0商的法则不能用)14(lim1xx又,031432lim21xxxx.030由无穷小与无穷大的关系,得例2.3214lim21xxxx求.3214lim21xxxx解例3.321lim221xxxx求.,,1分母的极限都是零分子时x.1后再求极限因子先约去不为零的无穷小x)1)(3()1)(1(lim321lim1221xxxxxxxxx31lim1xxx.21)00(型(消去零因子法)例4.147532lim2323xxxxx求解.,,分母的极限都是无穷大分子时x)(型.,,3再求极限分出无穷小去除分子分母先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx.72(无穷小因子分出法)小结:为非负整数时有和当nmba,0,000,,,,0,,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例5).21(lim222nnnnn求解．是无限多个无穷小之和时,n222221lim)21(limnnnnnnnn2)1(21limnnnn)11(21limnn.21先变形再求极限.例6.sinlimxxx求解,1,为无穷小时当xx.sin是有界函数而x.0sinlimxxxxxysin例7).(lim,0,10,1)(02xfxxxxxfx求设yox1xy112xy解两个单侧极限为是函数的分段点,0x)1(lim)(lim00xxfxx,1)1(lim)(lim200xxfxx,1左右极限存在且相等,.1)(lim0xfx故.)(lim)]([lim)]([)(lim)()(lim)(00000AufxfxxxfAufaxxaxaxxxuauxxauxx时的极限也存在，且当则复合函数，，又的某去心邻域内但在点，，即时的极限存在且等于当运算法则）设函数定理（复合函数的极限)]([lim0xfxx)(limufau)(xu令)(lim0xaxx意义：例8.lim333axaxax求解axaxaxax3233)()(lim原式3233232)(limaaxxaxax．0323203limauuaxu令小结1、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.3、复合函数的极限运算法则二、两个重要极限(1)1sinlim0xxx注意：sinlim0.xxx)00(型()有界量型例.cos1lim20xxx求解2202sin2limxxx原式220)2(2sinlim21xxx20)22sin(lim21xxx2121.21(2)exxx)11(lim定义ennn)11(lim11111(1)1111111111111nnnnnnxnnnnnnnn,1时当x,1][][xxx有,)][11()11()1][11(1][][xxxxxx)][11(lim)][11(lim)][11(lim][1][xxxxxxxx而,e11][][)1][11(lim)1][11(lim)1][11(limxxxxxxxx,e.)11(limexxx,xt令ttxxtx)11(lim)11(limttt)111(lim)111()111(lim1tttt.eexxx)11(lim,1xt令ttxxtx)11(lim)1(lim10.eexxx10)1(lim1模式例4.)11(limxxx求解xxx)11(1lim1])11[(limxxx原式.1e例5.)23(lim2xxxx求解422)211(])211[(limxxxx原式.2e小结1.两个准则2.两个重要极限迫敛准则;单调有界准则.;1sinlim10某过程.)1(lim210e某过程,为某过程中的无穷小设三、无穷小的比较例如,xxx3lim20xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,,,022都是无穷小时当xxxxxx极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.;32要快得多比xx;sin大致相同与xx不可比.,0,1xx1sinlim0.不存在观察各极限型）（00；记作高阶的无穷小是比，就说如果)(,0lim)1(o定义:.0,,且穷小是同一过程中的两个无设;,0lim)3(是同阶的无穷小与就说如果C;~;,1lim记作是等价的无穷小与则称如果特殊地，低阶的无穷小．是比，就说如果２lim)(.,0,0lim)4(无穷小阶的的是就说如果kkCk，03lim20xxx，1sinlim0xxx;302高阶的无穷小是比时，当xxx).0()3(2xxox即．是等价无穷小与时，当xxxsin0).0(~sinxxx即例如，例1.sintan,0:的三阶无穷小为时当证明xxxx解30sintanlimxxxx)cos1sincos1(lim20xxxxxx,21.sintan的三阶无穷小为xxx2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx的主要部分．是称为必要条件是等价无穷小的的充分与定理).(1o证必要性，设~1limlim，0．，即)()(oo充分性．设)(o)(limlimo）（１＋)(limo，1．~意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．例如,),(sinxoxx).(21cos122xoxx,0时当xxycos1221yx常用等价无穷小:,0时当x)0(~1)1(,21~cos1,1~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin~2aaxxxxexxxxxxxax.21~cos1,~sin2xxxx见课本357页例２解)1ln(lim1lim00uuxeuxx.1lim0xexx求,1uex令),1ln(ux即,0,0ux有时则当uuu10)1ln(1limuuu10)1ln(lim1eln1.1.1~),1ln(~0xexxxx时，即，当等价无穷小代换定理２(等价无穷小代换定理).limlim,lim~,~则存在且设证lim)lim(limlimlim.lim例３.cos12tanlim20xxx求解.2~2tan,21~cos1,02xxxxx时当22021)2(limxxx原式.8若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.注意例４.arcsinsin)1(lim0xxxx求解.~arcsin,~sin,0xxxxx时当xxxx)1(lim0原式.1)1(lim0xx例５.2sinsintanlim30xxxx求解.~sin,~tan,0xxxxx时当30)2(limxxxx原式.0解,0时当x)cos1(tansintanxxxx,21~3x,2~2sinxx330)2(21limxxx原式.161错例6.3sin1cos5tanlim0xxxx求解),(55tanxoxx),(33sinxoxx).(21cos122xoxx)(3)(21)(5lim220xoxxoxxoxx原式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20.35353cos1lim35tanlim3sin1cos5tanlim000xxxxxxxxxx另解:小结1、无穷小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.作业：课本