数字信号处理报告

数字信号处理实验报告实验目的一、加深对离散傅立叶变换（DFT）和快速傅立叶变换（FFT）的理解，掌握通过两种变换求卷积的编程方法；二、掌握设计巴特沃斯低通双线性IIR数字滤波器的原理和方法，以及从低通转换到高通的技术；三、掌握用窗函数设计FIR数字滤波器的原理及方法，了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响；四、提高综合应用和分析的能力，Matlab编程能力等。实验内容实验一一、实验名称快速傅立叶变换二、实验要求编程利用FFT进行卷积计算，通过实验比较出快速卷积优越性。三、实验原理利用FFT进行离散卷积的步骤归纳如下：(1)、设x(n)的列长为N1，h(n)的列长为N2，要求y(n)=x(n)*h(n)=10Nkx(k)h((n-k))NRN(n)=10)()(Nkknhkx[1](2)、为使两有限长序列的线性卷积可用其圆周卷积来代替而不产生混淆，必须选择N≥N1+N2-1。为使用基-2FFT来完成卷积计算，故要求N=2v(v是整数)。用补零的办法使x(n)，h(n)具有列长N，即x(n)=1-N1,N1N1n01-1210nx(n)，，，，Nh(n)=1-N1,N2N2n01-2210nh(n)，，，，N(3)为用圆周卷积定理计算线性卷积，先用FFT计算x(n)，h(n)的N点离散傅立叶变换x(n)FFTX(k)[2]h(n)FFTH(k)[3](4)组成卷积Y(k)=X(k)H(k)[4](5)利用IFFT计算Y(k)的离散傅立叶逆变换得到线性卷积y(n)。由于y(n)=10)]()/1[(NkkYNWN-nk=[10)](*)/1[(NkkYNWNnk]*[5]可见，y(n)可由求(1/N)Y*(k)的FFT再取共轭得到。四、实验题目(1)两个正弦序列的卷积（均为两个周期，256点）输入序列：卷积输出：（2）正弦序列与三角序列的卷积（正弦序列为两个周期，256点；三角序列为一个周期，256个点）输入序列：卷积输出：（3）两个矩形序列的卷积（均为两个周期，256个点，占空比0.5）输入序列：卷积输出：（4）单位冲击与正弦波（单位冲击序列为256个点，正弦序列为1.7个周期，256个点）输入序列：卷积输出：任何序列与单位冲击序列的卷积为原序列，所以结果正确。(5)正弦序列与矩形序列的卷积（两序列均为256个点，正弦序列为两个周期，矩形序列为两个周期，占空比为0.2）输入序列：卷积输出：主要代码（只选一个参考，下同）：%（1）的代码k=1:256;s1=sin(k/64*pi);s2=s1;xk=fft(s1,2*length(k)-1);yk=fft(s2,2*length(k)-1);rm=ifft(xk.*yk);m=(-255):(255);stem(m,rm)xlabel('m');ylabel('·ù¶È');实验二一、实验名称IIR数字滤波器二、实验要求：设计巴特沃斯低通双线性IIR数字滤波器，N=3，ωc=0.2π。输入信号为以下三种序列（选择点数为128或256）：1．单位取样2．三角序列（两个周期）3．矩形序列（占空比0.1或0.5）给出输出的时域及频域效果，并进行简单的分析。三、实验原理：滤波器的作用是滤除信号中某一部分的频率分量。信号经过滤波器处理，就相当与信号频谱与滤波器的频率响应相乘的结果。在时域里来看，这就是信号与滤波器的冲激响应相卷积。可以说滤波器就是一个卷积器。IIR滤波器的系统函数对应的差分方程为模拟滤波器系统函数)(sHa的一般表示式为MrNkkrknyarnxbny01)()()(NkkkMrrrzazbzH101)(数字滤波器系统函数H(z)的普遍表示式为三阶次巴特沃斯滤波器的系统函数为由Ha(s)的系数表示经双极性变换后的Y(z)的表达式（三阶）ωc=0.2πY(Z)=0.018099*X(Z)*Z-3+0.054297*X(Z)*Z-2+0.054297*X(Z)*Z-1+0.018099*X(Z)+0.27806*Y(Z)*Z-3-1.18289*Y(Z)*Z-2+1.76004*Y(Z)*Z-1即y(n)=0.018099*x(n-3)+0.054297*x(n-2)+0.054297*x(n-1)+0.018099*x(n)+0.27806*y(n-3)-1.18289*y(n-2)+1.76004*y(n-1)由低通数字滤波器原形变换为高通数字滤波器由截止频率ωc=0.2π三阶低通变换为截止频率ωc=0.6π三阶高通，经计算，其表达式为：y(n)=-0.098531x(n-3)+0.295594x(n-2)-0.295594x(n-1)+0.098531x(n)-0.056297y(n-3)-0.42179y(n-2)-0.57724y(n-1)计算过程：由给定的条件可计算出巴特沃斯系统函数的系数，相应可知摸拟系统函数的系数，经双极性变换法求出数字滤波器的系数，最后由差分方程实现低通滤波效果。经相应的Z平面映射，由映射公式变换得出数字高通滤波器系统函数的系数，从而由差分方程实现高通效果。四、实验结果及分析：A.低通滤波：)22/(32233ccccsss)]2tan(2[TcNNNNNkkkNrrrasCsCsCCsdsdsddsCsdsH2210221000)(NNNNNkkkNrrrzAzAzAzBzBzBBzazbzH221122110001)(1111aaz)2cos()2cos(cccca(1).单位取样（256个点）输入序列：低通滤波后的傅立叶变换和输出序列：0100200300-0.500.51TheresultofFilter010020030000.20.40.60.81Thesignalofy0123400.511.520123400.511.5(2).三角序列（256个点，两个周期）输入序列：低通滤波后的频谱和输出序列：0100200300-1-0.500.51TheresultofFilter0100200300-1-0.500.51Thesignalofy0123405010015001234050100150(3).矩形序列（两个周期，256个点，占空比0.5）输入序列：低通滤波后的频谱和输出序列：0100200300-2-1012TheresultofFilter0100200300-1-0.500.51Thesignalofy0123405010015020001234050100150200主要代码：%y=[ones(1,64)-ones(1,64)ones(1,64)-ones(1,64)];%y=[1zeros(1,255)];y=[1:3231:-1:-32-31:3231:-1:-32-31:0]./32;k=2*length(y);[B,A]=butter(3,0.2*pi);[num1,den1]=impinvar(B,A);[h1,w]=freqz(num1,den1);[HH,TT]=impz(B,A);YY1=conv(HH,y);%YY=filter(B,A,y);f=fft(y,k);FF1=fft(YY1,k);subplot(2,2,2);stem(YY1(1:length(y)),'.');title('TheresultofFilter');subplot(2,2,1);stem(y,'.');title('Thesignalofy');subplot(2,2,3);plot(w,abs(f));subplot(2,2,4);plot(w,abs(FF1));B.高通滤波：（1）矩形序列（256个点，两个周期，占空比0.5）输入序列：高通滤波输出的频谱：高通滤波输出：0100200300-1-0.500.51x10-22TheresultofFilter0100200300-1-0.500.51Thesignalofy012340501001502000123400.51x10-20（2）矩形序列（256个点，两个周期，占空比0.1）输入序列：高通滤波输出的频谱和高通滤波输出：0100200300-1-0.500.51x10-22TheresultofFilter0100200300-1-0.500.51Thesignalofy0123401002003000123400.511.5x10-20主要代码：y=[ones(1,13)-ones(1,115)ones(1,13)-ones(1,115)];k=2*length(y);[B,A]=butter(3,0.2*pi,'high');[num1,den1]=impinvar(B,A);[h1,w]=freqz(num1,den1);[HH,TT]=impz(B,A,'high');YY1=conv(HH,y);%YY=filter(B,A,y);f=fft(y,k);FF1=fft(YY1,k);subplot(2,2,2);stem(YY1(1:length(y)),'.');title('TheresultofFilter');subplot(2,2,1);stem(y,'.');title('Thesignalofy');subplot(2,2,3);plot(w,abs(f));subplot(2,2,4);plot(w,abs(FF1));实验三一、实验名称FIR数字滤波器二、实验要求：设计一个截止频率为ωc=0.2π的线性相位低通数字滤波器，ω1=0.3π，ω2=0.3π的线性相位带通滤波器，分别用矩形窗和海明窗对其进行截断，N为61。输入序列64-128点，输出128-256点。输入单位取样及矩形序列（占空比0.1），画出输出序列及其频谱。三、实验原理：理想低通数字滤波器，其频率特性为Hd(ejω)，现假设其幅频特性|Hd(ejω)|=1，相频特性φ(ω)=0，那么，该滤波器的单位抽样响应hd(n)是以为hd(0)为对称的sinc函数，hd(0)=ωc/π。我们将hd(n)截短，例如仅取hd(-M/2)，…，hd(0)，…，hd(M/2)，并将截短后的hd(n)移位，得h(n)=hd(n-M/2)n=0,1,…,M那么h(n)是因果的，且为有限长，长度为M+1，令H(z)=∑h(n)Z-nn=0,1,…,M即得到所设计滤波器的转移函数。H(z)的频率响应将近似Hd(ejω)，且是线形相位的。窗函数设计法是一种逼近，用其频响H(ejw)去逼近所要求的理想滤波器频响Hd(ejw),用其有限长单位冲击响应h(n)去逼近理想滤波器的无限长单位冲击响应hd(n)，即：设计FIRDF的关键是求出h(n),它应该是一个有限长因果序列。有限性可通过对hd(n)截取一段，即与某一窗函数相乘获得；因果性可通过在时域上进行的时延来获得，这不影响幅频特性，只影响相频。常用的窗函数有矩形窗、海明窗等。设计时，先根据算出hd(n)，再根据指定的窗函数点数以及窗的类型得出h(n)，对输入的待滤波序列和h(n)做卷积，即可达到滤波效果。具体实现时可根据线形卷积和圆周卷积的关系，通过补点把线形卷积化为圆周卷积，再根据离散时域的卷积定理，借助FFT求出两序列的频谱，对其频域的乘积做IFFT,即得到时域的圆周卷积。理想低通滤波器幅频特性可知：同理：带通滤波器的单位冲击响应为：h(n)=(Sinω2n-Sinω1n)/(πn)所以：10)()()(Nmmnxmhny四、实验结果及分析：以下各图输入序列均为128个点，输出序列均为256个点，滤波器窗函数取样点的数目N均为61。低通滤波（1）单位冲击序列输入：02040608010012014000.51nx(n)输入序列05010015020025030000.51n