数字信号处理滤波器的设计

无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。数字滤波器是具有频率选择性的离散线性系统，数字滤波器的设计步骤大体可分为以下三步：1.根据使用要求确定系统需要的各种性能指标（指容限、容差）通常在频域给出滤波器的容限、容差，如图所示。容限----指滤波器通带、阻带的最大衰耗和波动范围。容差----指通带、阻带容许的最大误差范围。IIR滤波器的设计方法在通带内，幅度响应以误差逼近于1，即1111jHec在阻带中，幅度响应以误差而逼近于零，即22jeHp其中，、分别为通带和阻带截止频率。cp2.用稳定的因果系统去逼近设计的系统函数系统函数包括：无限长单位脉冲响应的系统函数和有限长单位脉冲响应的系统函数，可根据容限选择IIR或FIR滤波器。逼近——在滤波器设计中逼近是一个重要的环节。逼近就是给定所要求的滤波器性能后，去寻找一个物理可实现的系统函数，使它的频率特性尽可能近似所要求的滤波器特性，也就是指对理想特性进行逼近，最后得到一个因果、稳定并且可实现的传递函数，滤波器的设计实际上就是一个数学逼近的问题。zHzH3.决定的实现方法（包括选择运算结构、运算制式及字长）因为数字滤波器是一种物理可实现的线性时不变系统，所以它是用一个有限精度的运算去实现系统函数。选择的结构形式有：级联、并联、直接、横截、频率采样型等结构。本章和第五章主要解决第二个步骤的内容，也就是寻求滤波器传递函数设计的问题。zHzH说明一下符号表示的含义：DF----数字滤波器AF----模拟滤波器单位脉冲响应单位冲激响应采样序列DF的传递函数AF的传递函数DF的频率响应AF的频率响应nhthanThazHshajeHjHa数字滤波器四种类型的理想频率特性：NiNiiiinybinxany01)()()(数字滤波器的数学描述：1)差分方程NMzdzcAzbzaZHNiiMiiNiiiMiii一般111110)1()1(1)(2)系统函数简单的数字滤波器1)一阶FIR低通滤波器)1(5.0)(11zzHLP2)一阶FIR高通滤波器)1(21)(11zzHHP3)一阶IIR低通滤波器112112)1()(zzzHLP14)一阶IIR高通滤波器,112)1()(112zzzHHP15)二阶IIR带通滤波器212)1(1121)(zzzzHBP6)二阶IIR带阻滤波器2121BS)1(12121)(zzzzzH§4.1IIR滤波器设计的特点nhIIR滤波器的传递函数可以写成N阶的有理函数：0111111NNiiNNiiiiiiiiiiAczHzdzazbz滤波器设计的核心是求传递函数，而的设计就是确定系数、，或者确定零点、极点，使得滤波器的满足给定的性能要求。zHzHiaibicidzHIIR—指单位脉冲响应为无限长的滤波器，滤波器的有无限个离散值。一.IIR滤波器的一般设计方法：nh如果在单位圆内设置一对共轭极点，频响在将有一峰值。0jerZ0极点离单位圆愈远，频响在处的峰值比较平缓。极点越接近单位圆，频响在处的峰值就越尖锐。如果通带太窄，可以把极点向原点平移，如果通带太宽，可以将极点向单位圆移动。我们可以通过几次调整单位圆内极点的位置，去逼近符合设计要求的频响。000同样，如果在单位圆上处设置一个零点，那么频响在处会出现传输零点，传输零点可以实现陷波作用。1jez11.累试法滤波器的幅度特性和相位特性完全由其零点和极点位置所决定。0零、极点累试法是在频域直接设计，可以完成一些简单的、阶数不高的滤波器的设计。就是计算机优化设计，计算机优化设计的思想是借助计算机，使得所设计的滤波器的频响尽可能逼近理想的频响，即jeH逼近jdeH2.最优化设计法最优化设计一般分为两步进行：第一步：选择最优化标准或准则例如，实际中常常要求滤除叠加在信号上的50HZ工频干扰，我们可以在处安排一个零点，就可以1jez,50211HzTT滤除掉50HZ的工频干扰。011NiNiiiiiHzazbzDF的传递函数通过改变的系数、，分别计算均方误差，经过多次迭代运算，寻找一组系数、，使得均方误差为最小的这组系数为最优系数，从而完成最优化设计。zHiaibEEib第二步：进行迭代运算，确定最优系数21MijwdjwiieHeHE最小选择一种最佳准则，使得与的均方误差最小或者最大误差最小。根据最小二乘法准则，要求jeHjdeHia3.模仿模拟滤波器的设计因为模拟滤波器的设计目前已经很完善，AF不仅有简单和严格的设计公式，而且它的设计参数也已经表格化，因此，我们可以借助于模拟滤波器设计的成果来设计数字滤波器。在模拟系统中，利用工作参数综合法设计滤波器时，无论低通、高通、带通和带阻滤波器，均是先设计一个低通原型，然后经过某种频率变换完成所要求设计的滤波器。即:利用模拟滤波器设计数字滤波器，首先利用模拟滤波器的现成结果，在S平面设计出符合要求的模拟滤波器的传递函数，再通过一定的映射关系，得到数字滤波器的传递函数。sHazH在进行IIR数字滤波器的设计时，要逼近模拟原型低通滤波器，模拟低通滤波器通常仅考虑幅频特性，习惯上以幅度平方函数来表示模特性。二.最常用的几种模拟原型低通滤波器的逼近方法jSaaaaasHsHjHjHjH21．巴特沃思滤波器（butterworth）———最平响应滤波器巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数定义为：NCNaaajjjHjHjH2*2111N——为整数，表示滤波器的阶次；——为截止频率。c当Ω=0时，当时，有又称为滤波器的3bB带宽（或半功率点）。102jHac212CajH当时，当时，又称为滤波器的3bB带宽0巴特沃思低通滤波器的特点：①在处，即靠近零频处，衰减为0，所以巴特沃思滤波器通带内具有最大平坦的振幅特性，故得名为最平坦响应滤波器。②巴特沃思低通滤波器没有有限零点,零点出现在处，它属于“全极点型滤波器”。02．切比雪夫滤波器(chebychev)切比雪夫滤波器也是一种全极点型滤波器，它的幅度平方函数CNaCjH22211其中：—表示通带波纹大小，是小于1的正数，越大，波纹越大。—为滤波器的截止频率，但并不是3db带宽）。ccdBHHHHdB2102min2maxminmax101log10log10log203＝＝带宽＝—为N阶切比雪夫多项式，定义为：NC11coscos11CCCCCchNchNNC切比雪夫低通滤波器的特点：1)通带内等起伏，通带外衰减快；2)由于过渡带较窄，因此相位特性较差。3．考尔滤波器(cauer)2211aHjKj112222nSSSSSBsK考尔滤波器的特点：1)通带内、外都是等起伏。2)由于过渡带较窄，因此相位特性较差。三．S平面到Z平面的映射变换利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器的传递函数去设计数字滤波器的传递函数，即zHsHa()()aHSHZ通过变换这种变换归根结底是一个由S平面到Z平面的变换，并且通常是复变函数的映射变换，这种映射变换应该满足两个基本的要求：①的频响应该模仿的频响即要求zHsHa②是因果稳定的映射指的因果稳定性通过映射后，仍应保持因果稳定。sHazH()()aHSHZ通过变换§4.2脉冲响应不变法根据容限设计好一个模拟滤波器后，就可对此模拟系统进行模仿。数字滤波器从什么角度去模仿模拟滤波器呢？第一种方法是脉冲响应不变法。1.脉冲响应不变法模拟系统txtathsHaatythaadthxthtxaaaaLTI系统特性可以完全由它的冲激响应决定数字系统nxnnhzHnynhKknhkxnhnx脉冲响应不变法让数字滤波器的脉冲响应和模拟滤波器的脉冲响应在采样点上完全一样。即：nThnha单位脉冲响应不变法的设计思想：使数字滤波器从时域去模仿模拟滤波器。sHa1Ltha采样nhnTha变换ZzH2．脉冲响应不变法设计的系统的频率响应模拟系统频响数字系统频响jHathFTajeHjeZnhZ)]([对模拟信号txa理想采样txaˆ1LthanaanTttxtxˆdtetxsXstaaˆˆ拉氏变换ntsadtenTttxnsnTaenTx如果nTxnxa)(nnnanZnTxZnxzX当时，STeZsXeXaSTˆ是采样信号的拉氏变换与采样序列Z变换之间的映射关系STeZ理想采样的频谱majSaamTjjXTsXjX21ˆˆ采样信号的频谱是采样信号在虚轴上的拉氏变换是模拟信号频谱以采样频率为周期的周期延拓jXaˆjXaTS2或jeeZaeXzXjXTjTjˆ理想采样信号的频谱是单位圆上的Z变换，它也等于数字信号的频谱。因此，我们可以得到采样序列的频谱与原信号的频谱之间的映射关系为：)(nxtxajXajeXmajmTjjXTeX21上式表明：当采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它实际上是完成了由S平面到Z平面的映射，我们利用以上关系同样可以得到数字滤波器的频响与模拟滤波器的频响之间的关系：jeHjHa1212()mmjaaTmHeHjjmHjTTTT时＝＝表达式表明：数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，为模拟滤波器频响的周期重复,是以为周期的周期延拓。jeHjHas需要强调指出，在周期重复模拟滤波器频响的过程中所存在的问题：首先分析一下和以及的关系：jeHjHajHaˆ注意：我们原本是让来模拟，但实际中由于，所以模拟的是采样信号的频谱，的映射关系反映的是和周期延拓后与之间的对应关系，而并不是和之间的关系。jeHjHanThnhajeHjHaˆSTeZjeHjHajHaˆjeHjHa如果模拟信号不充分带限，这种周期重复就不可避免的存在着频率混叠问题，如下图所示。只有当信号是带限信号，并且满足、或时，这时数字滤波器的频响在折叠频率以内才能不失真的重现模拟滤波器