数字信号处理程佩青第三版课件_第三章_离散傅里叶变换

第3章离散傅里叶变换(DFT)DiscreteFourierTransformation第一节引言一、序列分类•对一个序列长度未加以任何限制，则一个序列可分为：无限长序列：n=-∞~∞或n=0~∞或n=-∞~0有限长序列：0≤n≤N-1•有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列。由于计算机容量的限制，只能对过程进行逐段分析。二、DFT的引入•由于有限长序列，引入DFT(离散傅里叶变换)。•DFT它是反映了“有限长”这一特点的一种有用工具。•DFT变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示，在理论上重要之外，而且由于存在着计算机DFT的有效快速算法--FFT,因而使离散傅里叶变换(DFT)得以实现，它使DFT在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。三、本章主要讨论•离散傅里叶变换的推导•离散傅里叶变换的有关性质•离散傅里叶变换逼近连续时间信号的问题第二节傅里叶变换的几种形式•傅里叶变换：建立以时间t为自变量的“信号”与以频率f为自变量的“频率函数”(频谱)之间的某种变换关系.•所以“时间”或“频率”取连续还是离散值,就形成各种不同形式的傅里叶变换对。在深入讨论离散傅里叶变换DFT之前,先概述四种不同形式的傅里叶变换对.一、四种不同傅里叶变换对•傅里叶级数(FS):连续时间,离散频率的傅里叶变换。•连续傅里叶变换(FT):连续时间,连续频率的傅里叶变换。•序列的傅里叶变换(DTFT):离散时间,连续频率的傅里叶变换.•离散傅里叶变换(DFT):离散时间,离散频率的傅里叶变换1.傅里叶级数(FS)•周期连续时间信号非周期离散频谱密度函数。•周期为Tp的周期性连续时间函数x(t)可展成傅里叶级数X(jkW0),是离散非周期性频谱,表示为:FS例子•通过以下变换对可以看出时域的连续函数造成频域是非周期的频谱函数,而频域的离散频谱就与时域的周期时间函数对应.(频域采样，时域周期延拓)2.连续傅里叶变换(FT)•非周期连续时间信号通过连续傅里叶变换(FT)得到非周期连续频谱密度函数。例子•从以下变换对可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱,而是时域的非周期造成频域是连续的谱.3.序列的傅里叶变换(DTFT)•非周期离散的时间信号DTFT(经过单位园上的z变换)得到周期性连续的频率函数。例子•同样可看出,时域的离散造成频域的周期延拓,而时域的非周期对应于频域的连续.4.离散傅里叶变换(DFT)•上面讨论的三种傅里叶变换对,都不适用在计算机上运算,因为至少在一个域(时域或频域)中,函数是连续的.因为从数字计算角度,我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况,这就是我们这里要谈到的离散傅里叶变换.•周期性离散时间信号从上可以推断：周期性时间信号可以产生频谱是离散的离散时间信号可以产生频谱是周期性的。得出其频谱为周期性离散的。也即我们所希望的。DFT的变换•总之，一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓。二、四种傅里叶变换形式的归纳第三节离散傅里叶级数(DFS)•我们首先从周期性序列的离散傅里叶级数(DFS)开始讨论,然后再讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换(DFT).一、DFS定义•设为周期为N的周期序列,则其离散傅里叶级数(DFS)变换对为:•正变换•反变换•其中:)(~nx10102)(~)(~)](~[)(~NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFSkX10102)(~)(~1)](~[)(~NknkNNknkNjWkxekXNkXIDFSnxNjNeW2二、DFS离散傅里级数的推导意义•用数字计算机对信号进行频谱分析时，要求信号必须以离散值作为输入，而且上面讨论可知：只有第四种形式(DFS)对数字信号处理有实用价值。•但如果将前三种形式要么在时域上采样，要么在频域上采样，变成离散函数，就可以在计算机上应用。所以我们要先了解如何从以上三种形式推出DFS.1.由非周期连续时间信号推出DFS•连续信号x(t)经过抽样为x(nT),对离散的时间信号进行DTFT得到周期连续频谱密度函数。再经过抽样，得到周期性离散频谱密度函数即为DFS.x(t)t取样x(t)tDTFTX(ejΩT)Ω采样X(ejw)w2.周期性连续时间信号函数•周期性连续时间信号函数经采样后，得到周期性的离散时间函数(DFS)。x(t)X(ejw)tw采样3.非周期离散时间信号•非周期离散时间信号经过序列傅里叶变换(即单位园上的z变换)DTFT,得到周期连续谱密度函数，再经采样为周期离散频谱密度函数(DFS)。x(t)tΩX(ejΩT)wX(ejw)DTFT采样三、推导DFS正变换•以下由第三种傅里叶级数形式为例推导出离散付里叶级数变换。•非周期信号x(n),其DTFT(单位园上z变换)为•其为周期连续频谱密度函数，对其进行采样，使其成为周期性离散频谱函数。设在一周期内采样N个点，则两采样点间距为：njnwjwenxeX)()(~N2推导DFS正变换－续•得到频间距为：•代入DTFT式子中得：kNw212,1,0Nk1022)(~)(~)(~NnkNjnkNwjwenxeXkX12,1,0Nk四、DFS的反变换•即证：•证明：–已知•两边同乘以,并对一个周期求和)(~)(~nxkXIDFT102)(~)(~NnkNjnenxkX12,1,0NkkrNje2DFS的反变换－续)(~)1)((~))(~()(~10)(210210210210rxNeNnxNeenxekXNknrkNjNnrkNjNknkNjNnkrNjNk根据正交定理nrnr01•用n置换r得：102)(~1)(~NnknNjekXNnx12,1,0Nn回顾DFS•设x(n)为周期为N的周期序列,则其离散傅里叶级数(DFS)变换对为:•正变换•反变换10102)(~)(~)](~[)(~NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFSkX210101()[()]()()NjnkNkNnkNkxnIDFSXkXkeNxkWNjNeW2•其中:五、离散傅里叶级数性质•可以由抽样z变换来解析DFS，它的许多性质与z变换性质类似。•它们与z变换主要区别为：•(1)与两者具有周期性，与Z变换不同。•(2)DFS在时域和频域之间具有严格的对偶关系。•它们主要性质分为：线性、序列移位(循环移位)、调制性、周期卷积和)(~nx)(~kX(1)线性)(~)(~)](~)(~[2121kXbkXanxbnxaDFS(2)序列移位(循环、移位)•时域•频域)(~)](~[kXWmnxDFSmkN)(~)](~[nxWlkXIDFSnlN(3)调制性)(~)](~[lkXnxWDFSnlN(4)时域卷积•周期卷积和与以前卷积不同，它的卷积过程限在一个周期内称为周期卷积。•时域卷积等于频域相乘。•频域：)(~)(~)(~21kXkXkY11201210()[()]()()()()NmNmynIDFSYkxmxnmxmxnm(5)频域卷积)(~)(~)(~21nxnxny10121021)(~)(~1)(~)(~1)](~[)(~NmNlmnXmXNlkXlXNnyDFSkY时域：第四节离散傅里叶变换DFT一、由DFS引出DFT的定义•周期序列实际上只有有限个序列值才有意义,因而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列,这就得到有限长序列的傅里叶变换(DFT).•具体而言,我们把•(1)时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓;•(2)把频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓.由DFS引出DFT的定义-续•(3)这样我们只要把DFS的定义式两边取主值区间,就得到关于有限长序列的时频域的对应变换对.这就是数字信号处理课程里最重要的变换-------离散傅里叶变换(DFT).二、DFT定义•正变换•反变换•X(k)、x(n)为有限长序列的离散付里叶变换对，已知其中一个序列就能确定另一个序列。10102)()()]([)(NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFTkX211001()[()]()()NNjnknkNNkkxnIDFTXkXkexkWN注意•在离散傅里叶变换关系中,有限长序列都作为周期序列的一个周期来表示,都隐含有周期性意义.三、DFT涉及的基本概念1.主值(主值区间、主值序列)2.移位(线性移位、圆周移位)3.卷积(线性卷积、圆周卷积)4.对称(序列的对称性、序列的对称分量)5.相关(线性相关、圆周相关)1.主值(主值区间、主值序列)•主值区间：设有限长序列x(n),0≤n≤N-1,将其延拓为周期序列,周期序列长度为N,则它的第一个周期n=0到n=N-1的区间称为主值区间.•主值序列:设有限长序列x(n),0≤n≤N-1,将其延拓为周期序列,周期为N,则主值区间内的序列x(n)=,0≤n≤N-1,即为主值序列。)(~nx)(~nx)(~nx)(~nx2.移位•线性移位：序列沿坐标轴的平移.•圆周移位：将有限长序列x(n)以长度N为周期延拓为周期序列,并加以线性移位后,再取它的主值区间上的序列值,m点圆周移位记作:•其中((...))N表示N点周期延拓.)())(()(nRmnxnxNNm(1)有限长序列圆周移位的实现步骤(2)例子121310.5(1)周期延拓：N=5时nx(n)2131x(n)0.521310.51120.5n(2)周期延拓：N=6时，补零加长2131x(n)0.521310.51123n3(2)例子21310.5nx(n)(3)M=1时，左移(取主值)131x(n)0.52(4)M=-2时，右移(取主值)2131nx(n)0.5n3.卷积•卷积在此我们主要介绍：•(1)线性卷积•(2)圆周卷积•(3)圆周卷积与线性卷积的性质对比(1)线性卷积•线性卷积定义：有限长序列•x1(n),0≤n≤N1-1;x2(n),0≤n≤N2-1•则线性卷积为•注意:线性卷积结果长度变为N1+N2-1.mmmnxmxmnxmxnxnxny)()()()()(*)()(122121(2)圆周卷积•令•则圆周卷积结果长度不变,为N.1111()01()01xnnNxnNnN2222()01()01xnnNxnNnN1012102121))(()())(()()()()(NmNNmNmnxmxmnxmxnxnxny圆周卷积的实现步骤例子线性卷积与圆周卷积步骤比较1231x(n)54n0N1=5213h(n)n0N2=3线性卷积：圆周卷积：(N=7)补零加长231x(k)54k0N1=5231x(k)540N=7k例子线性卷积与圆周卷积步骤比较2231h(k)0k(2)线卷积无需周期延拓，而圆周卷积需进行周期延拓：线卷积的反折：圆卷积的反折(并取主值区间）：231231231h(-k)k0231h(-k)k0例子线性卷积与圆周卷积步骤比较3(3)平移231h(1-k)k0231h(1-k)k0（4）相乘x(k)h(-k)=5×1=5x(k)h(1-k)=5*2+4*1=14x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26231x(k)54k0231x(k)540N=7kx(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8x(k)h(6-k)=1*3=3例子线性卷积与圆周卷积步骤比较4(5)相加得到线性卷积的示意图相加得到圆周卷积的示意图14265ny(n)201483014265ny(n)2014830可见,线性卷积与圆周卷积相同(当