数字信号处理第三版第六章

有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章第6章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计6.1学习要点6.2教材第7章习题与上机题解答有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章6.1学习要点6.1.1线性相位概念与具有线性相位的FIR数字滤1．设H(ejω)=FT［h(n)］为FIR滤波器的频响特性函数。H(ejω)可表示为H(ejω)=Hg(ω)ejθ(ω)有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章Hg(ω)称为幅度函数，为ω的实函数。应注意Hg(ω)与幅频特性函数|H(ejω)|的区别，|H(ejω)|为ω的正实函数，而Hg(ω)是一个可取负值的实函数。θ(ω)称为相位特性函数，当θ(ω)=－ωτ时，称为第一类（A类）线性相位特性；当θ(ω)=θ0－ωτ时，称为第二类（B类）线性相位特性。θ0=－π/2是第二类线性相位特性常用的情况，所以本书仅考虑这种情况。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章2．具有线性相位的FIR滤波器的特点（h(n)长度为N）1）时域特点21)(21)()1()(ANNnnhnNhnh偶对称关于类(6.1.1)212)(21)()1()(BNNnnhnNhnh奇对称关于类(6.1.2)有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章群延时,21d)(dN为常数，所以将A类和B类线性相位特性统称为恒定群延时特性。2）频域特点)0)π((π)(:)2(π2,π,0)(:)1(AgggHHNHN奇对称关于情况为偶数三点偶对称关于情况为奇数类gg(3):()0,π,2πB(4):()0,2π,πNHNH为奇数情况关于三点奇对称类为偶数情况关于奇对称关于偶对称有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章3）结论掌握以上特点，就可以得出如下结论，这些结论对FIR滤波器的设计很重要。（1）情况1：可以实现所有滤波特性（低通、高通、带通、带阻和点阻等）。（2）情况2：Hg(π)=0，不能实现高能、带阻和点阻滤波器。（3）情况3：只能实现带通滤波器（因为Hg(0)=Hg(π)=Hg(2π)=0）（4）情况4：不能实现低能、带阻和点阻滤波器。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章6.1.2FIR教材中主要介绍了FIR-DF的3种设计方法，即窗函数法、频率采样法、这3种设计方法的设计原理及设计步骤教材中讲得很清楚，本书不再重复，读者只要认真学习教材，并参考例题和习题解答，就可以掌握本章的知识和方法。下面仅举一个例子，用窗函数设计法的概念证明一个重要的结论，使读者正确理解所谓的最佳设计法，其设计效果与设计的最佳准则有关，以一个最佳准则设计的最佳滤波器，在另一个最佳准则下可能就不是最佳的，甚至很差，以至于无实际应用价值。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章［例6.1.1］试证明在窗函数设计法中，当h(n)长度N值固定时，矩形窗设计结果满足频域最小均方误差逼近准则。解:仿照窗函数设计法的过程，设Hd(ejω)表示期望逼近的理想滤波器频率响应，其单位脉冲响应为hd(n)。用w(n)表示窗函数，长度为N;用h(n)表示用窗函数法设计的实际FIR滤波器单位脉冲响应（即h(n)=hd(n)w(n))，其频率响应函数为H(ejω)。定义H(ejω)与Hd(ejω)的均方误差为ππ2jjd2d|)e()e(|π21HH有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章本例题就是要求证明：当w(n)=RN(n)时，ε2最小。由于证明的条件与窗函数w(n)的类型（形状）有关，所以，将ε2转换到时域表示，有利于证明。证明如下：（1）令误差函数E(ejω)=Hd(ejω)－H(ejω)由于E(ejω)为周期函数，所以可展开为幂级数nnnEjje)(e)e(有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章（2）用系数e(n)表示均方误差ε2。（3）证明只有当w(n)=RN(n),h(n)=hd(n)Rn(n)时，ε2最小。下面按三步证明：（1）因为jjdd(e)()ennHhn，jj(e)()ennHhn所以nnnhnhHHEjdjjdje)]()([)e()e()e(有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章由于h(n)长度为N，即当n0或n≥N时，h(n)=0，所以11jjjjddd0(e)()e()e[()()]eNnnmnnNnEhnhnhnhnnmnje)(e故10)()(,0)()(ddNnnhnhNnnnhne≥≤≤有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章(2)因为E(ejω)=FT［e(n)］，所以由帕塞瓦尔定理有ππ22j2|)(e|d|)e(|π21nnE1102d2d2d|)()(||)(||)(|nNnNnnhnhnhnh(3)由（2）的结果知，ε2的前面两个求和项与w(n)无关，而第三个求和项为11ddd()()001dd0|()()||()()()||()()|0NNNwnRnnnNnhnhnhnwnhnhnhn有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章由此证明，矩形窗设计确实满足频域最小均方误差准则。前面已提到，当Hd(ejω)为理想频响特性（理想低通、带通等）时，矩形窗设计的FIR滤波器阻带最小衰减只有21dB，不满足一般工程要求。所以，调用频域最小均方误差最佳逼近设计程序设计FIR滤波器时，使Hd(ejω)具有平滑的滚降特性，可使阻带衰减加大，通带内波纹减小。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章6.2教材第7章习题与上机题解答1．已知FIR滤波器的单位脉冲响应为：（1）h(n)长度N=6h(0)=h(5)=1.5h(1)=h(4)=2h(2)=h(3)=3（2）h(n)长度N=7h(0)=－h(6)=3h(1)=－h(5)=－2h(2)=－h(4)=1h(3)=0试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章解：（1）由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N－1－n)，所以FIR滤波器具有A类线性相位特性：5.221)(N由于N=6为偶数(情况2)，所以幅度特性关于ω=π点奇对称。（2）由题中h(n)值可知，h(n)满足h(n)=－h(N－1－n)，所以FIR滤波器具有B类线性相位特性：32π212π)(N由于7为奇数(情况3)，所以幅度特性关于ω=0,π,2π三点奇对称。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章2．已知第一类线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度为16，其16个频域幅度采样值中的前9个为：Hg(0)=12，Hg(1)=8.34，Hg(2)=3.79，Hg(3)~Hg(8)=0根据第一类线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点，求其余7个频域幅度采样值。解：因为N=16是偶数（情况2），所以FIR滤波器幅度特性Hg(ω)关于ω=π点奇对称，即Hg(2π－ω)=－Hg(ω)。其N点采样关于k=N/2点奇对称，即Hg(N－k)=－Hg(k)k=1,2,…,15综上所述,可知其余7个频域幅度采样值：Hg(15)=－Hg(1)=－8.34，Hg(14)=－Hg(2)=－3.79，Hg(13)~Hg(9)=0有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章3．设FIR滤波器的系统函数为)9.01.29.01(101)(4321zzzzzH求出该滤波器的单位脉冲响应h(n)，判断是否具有线性相位，解:对FIR数字滤波器，其系统函数为104321)9.01.29.01(101)()(NnnzzzzZnhzH有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章1()1,0,9,2.1,0.9,110hn由h(n)的取值可知h(n)满足：h(n)=h(N－1－n)N=5所以，该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。频率响应函数H(ejω)为所以其单位脉冲响应为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章10j)(jgje)(e)()e(NnmnhHH]ee9.0e1.2e9.01[1014j3j2jj2j2jjj2je)ee9.01.2e9.0e(1012je)2cos2cos8.11.2(101有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章幅度特性函数为102cos2cos8.11.2)(gH相位特性函数为221)(N4．用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器，要求过渡带宽度不超过π/8rad。希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd(ejω)为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章||0||0e)e(cjjdcaH≤≤≤（1）求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)（2）求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式，确定α与N之间的关系；（3）简述N解:（1）ccπjjjjddπc11()(e)edeed2π2πsin[()]π()nnhnHnn有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章（2）为了满足线性相位条件，要求，N为矩形窗函数长度。因为要求过渡带宽度Δβ≤rad,所以要求,求解得到N≥32。加矩形窗函数,得到h(n)：21Na8πN4π8π≤)()()](sin[)()()(cdnRanannRnhnhNNnNaNnanan其它021,10)(π)](sin[c≤≤有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章（3）N取奇数时，幅度特性函数Hg(ω)关于ω=0,π,2π三点偶对称，可实现各类幅频特性；N取偶数时，Hg(ω)关于ω=π奇对称，即Hg(π)=0，所以不能实现高通、带阻和点阻滤波特性。5．用矩形窗设计一线性相位高通滤波器，要求过渡带宽度不超过π/10rad。希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数Hd(ejω)为其它0||e)e(jjdcaH≤≤有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章（1）求出该理想高通的单位脉冲响应hd(n)；（2）求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式，确定α与N的关系；（3）N解:（1）直接用IFT［Hd(ejω)］计算：πjjddπ1()(e)ed2πnhnHccπjjjjπ1eedeed2nn有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章ccπj()()π1eded2πnjnccj()j()jπ()jπ()1[eeee]2π()nnnnna)]}(sin[)](π{sin[)(π1cnanan)(π)](sin[)(δcananan有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章hd(n)表达式中第2项正好是截止频率为ωc的理想低通滤波器的单位脉冲响应。而δ(n－α)对应于一个线性相位全通滤波器：Hdap(ejω)=e－jωα即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。（2）用N表示h(n)的长度，则h(n)=hd(n)RN(n)=)()(π)](sin[)(δcnRnnnN)(π)](sin[canan有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章为了满足线性相位条件：h(n)=h(N－1－