4.3 三角函数的化简、求值

第四章三角函数4.3三角函数的化简、求值考点搜索●三角函数的化简，是通过一系列等价变换，将三角函数式化为尽可能简单的形式●给角求值，将非特殊角的三角函数化为特殊角的三角函数或使非特殊角的三角函数互相抵消；给值求值，解决此类问题的关键是要挖掘出已知条件中的角与所求三角函数间的角及三角函数间的内在联系高考猜想高考近年对三角函数的证明要求不是很高，且试题较容易；但对化简、求值要求较高.研究函数都需对式子先化简，求值题出现的可能性比较大.一、两角和的正弦、余弦、正切公式1.sin(α+β)=①___________________.2.cos(α+β)=②___________________.3.tan(α+β)=③___________________.4.asinx+bcosx=④______sin(x+φ)(其中tanφ=).basincos+cossincoscos-sinsintan+tan1-tantan22ab二、两角差的正弦、余弦、正切公式1.sinαcosβ-cosαsinβ=⑤_________.2.cosαcosβ+sinαsinβ=⑥___________.3.=⑦___________.三、二倍角的正弦、余弦、正切公式1.sin2α=⑧___________.2.cos2α=⑨_____________=⑩____________=11_____________.sin(α-β)tan-tan1+tantancos(α-β)tan(α-β)2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α3.tan2α=12__________.四、常用公式的变形1.cos2α=13________,sin2α=14_______.2.=15___________，=16________.3.tanα±tanβ=tan(α±β)·17__________.1+tan1-tan1-tan1+tan22tan1-tan1+cos221-cos22tan()4tan(-)4(1tantan)盘点指南：①sinαcosβ+cosαsinβ;②cosαcosβ-sinαsinβ;③;④;⑤sin(α-β);⑥cos(α-β);⑦tan(α-β);⑧2sinαcosα;⑨cos2α-sin2α;⑩2cos2α-1;111-2sin2α;12;13;14;15;16;17tan+tan1-tantan22ab22tan1-tan1+cos221-cos22tan()4tan(-)4(1tantan)2.设a=(sin17°+cos17°),b=2cos213°-1,c=,则()A.cabB.bcaC.abcD.bac解：a=(sin17°+cos17°)=sin(17°+45°)=sin62°,b=2cos213°-1=cos26°=sin64°,c==sin60sin60°sin62°sin64°.故选A.A22322232D1.设且απ,0β，求cos(α+β).解：因为απ,0β，所以题型1公式的“正用”第一课时12cos(-)-,sin(-),29232222-,--.42422故由得由得所以所以1cos(-)-,2945sin(-).292sin(-),235cos(-).23coscos[(-)-(-)]222cos(-)cos(-)sin(-)sin(-)22221524575-,9339272275239cos()2cos-12()-1-.227729点评：两角和(差)的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式是三角函数化简与求值最常用的公式.应用时，按公式的结构形式从左往右运用，这就是公式的正用.如把两角和、差按公式展开，二倍角化单角等都是正用.化简：解：原式=拓展练习拓展练习882cos-sin.1(1-sin2)cos22xxxx4444222222222222222(cos-sin)(cossin)(1-2sincos)cos2(cossin)(cos-sin)[(cossin)-2sincos](1-2sincos)cos2cos-sin1.cos2xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2.化简下列各三角函数式.解：(1)原式==题型2公式的：“逆用”24224tan(1)tantan();21-tan12cos-2cos2(2).2tan(-)sin()44xxxx24tantan-cot1-tan214tantan-tan1-tan(2)原式=222214tan-2cos2sin2=tan2-+=+2tan22(-)tan1-tantansin2cos2sin2-cos2-2cos42-4cot4.1sin2cos2sin4242222221(4cos-4cos1)(2cos-1)2sin(-)4sin(-)cos(-)4442cos(-)4cos(-)4cos2cos21cos2.2cos222sin(-2)2xxxxxxxxxxxxx点评：公式中，如果按公式形式从右往左用，这就是公式的“逆用”.如逆用二倍角，就是“降次”，将正、余弦的二次式化为一次式是“降次”.如果那么f()=_____________.解：因为所以拓展练习拓展练习2sincos122()cot-,21-2cos2f121sin1cos112(),2sincos2sincossin2f1()2.12sin6f3.求下列各式的值：(1)tan20°+tan40°+tan20°tan40°；(2)sin10°sin30°sin50°sin70°.解：(1)因为tan20°+tan40°=tan60°(1-tan20°tan40°)=(1-tan20°tan40°)，所以原式=(1-tan20°tan40°)+tan20°tan40°=.题型3公式的“活用”33333(2)sin10sin30sin50sin701cos20cos40cos8021sin20cos20cos40cos802sin201sin1601.16sin2016点评：在两角和、差、倍的三角函数公式中，如果对公式的形式进行变化或对角进行变化，然后利用公式的变式进行化简，这就是变用.如：①角的变化有2α=(α+β)+(α-β)，α=β+(α-β)等等；②公式的变形有tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)等.=2,2(1)求tan15°tan25°+tan25°tan50°+tan50°tan15°的值；(2)求的值.解：(1)原式=tan25°(tan15°+tan50°)+tan50°tan15°=tan25°tan65°(1-tan15°tan50°)+tan50°tan15°=tan25°cot25°(1-tan15°tan50°)+tan50°tan15°=1.拓展练习拓展练习2345coscoscoscoscos1111111111(2)原式55246810sinsinsinsinsin111111111123452sin2sin2sin2sin2sin11111111111086sinsinsin111111111.352232sinsinsin111111化简三角函数式是为更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用.化简三角函数式的要求：(1)能求出值的应求出值;(2)使三角函数种数尽量少;(3)使项数尽量少;(4)尽量使分母不含三角函数;(5)尽量使被开方数不含三角函数;(6)次数尽量低.