4.3 两个三角形相似的判定(1)

对应角相等，对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形.1、相似三角形的定义：ABCDEF∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.EFBCDFACDEAB如果复习2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形。那么△ABC∽△DEF3、相似三角形的传递性：如果二个三角形都与第三个三角形相似，那么这两个三角形相似。想一想、做一做如图在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且DE‖BC,则△ADE与△ABC相似吗?(1)看一看：这两个三角形的三个内角是否对应相等?(2)议一议：这两个三角形的边长,它们是否对应成比例?(3)试一试：平行移动DE的位置，上述结论还是否成立？(4)想一想：若点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，△ADE与△ABC是否还相似呢？ABCDEABCDEABCDE预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。ABCDEABCDE这是两个极具代表性的相似三角形基本模型归纳课外思考题：如图，在ΔABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，连结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE与ΔABC相似？ABCDEABCDE（提示：图有两种可能）如图已知DE∥BC、DF∥AC,请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。ABCDFE问题：如图当∠Ａ＝∠Ａ’，∠Ｂ＝∠Ｂ’时，试猜想下面的两个三角形相似吗？并证明你猜的结论.证明：在∆ABC的边AB上截取AD=A‘B’，过点D作DE∥BC，交AC于点E，则有∆ADE∽∆ABC.∵∠ADE=∠B，∠B=∠B'，∴∠ADE=∠B'.又∠A=∠A'，AD=A'B'，∴∆ADE≌∆A'B'C'.∴∆ABC∽∆A'B'C'.ACBB’A’C’DE开动脑筋开动脑筋ACBB’A’C’当∠Ａ＝∠Ａ‘，∠Ｂ＝∠Ｂ’时，下面的两个三角形相似吗？方法二：开动脑筋ACBB’A’C’当∠Ａ＝∠Ａ‘，∠Ｂ＝∠Ｂ’时，下面的两个三角形相似吗？方法二：ACBB’A’C’当∠Ａ＝∠Ａ‘，∠Ｂ＝∠Ｂ’时，下面的两个三角形相似吗？开动脑筋方法二：ACBB’A’C’当∠Ａ＝∠Ａ‘，∠Ｂ＝∠Ｂ’时，下面的两个三角形相似吗？开动脑筋方法二：ACBB’A’C’当∠Ａ＝∠Ａ‘，∠Ｂ＝∠Ｂ’时，下面的两个三角形相似吗？开动脑筋方法二：ACBB’A’C’当∠Ａ＝∠Ａ‘，∠Ｂ＝∠Ｂ’时，下面的两个三角形相似吗？开动脑筋方法二：ACBB’A’C’当∠Ａ＝∠Ａ‘，∠Ｂ＝∠Ｂ’时，下面的两个三角形相似吗？开动脑筋方法二：ACBB’A’C’当∠Ａ＝∠Ａ‘，∠Ｂ＝∠Ｂ’时，下面的两个三角形相似吗？开动脑筋方法二：ACBB’A’C’当∠Ａ＝∠Ａ‘，∠Ｂ＝∠Ｂ’时，下面的两个三角形相似吗？开动脑筋方法二：判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.ACBB’A’C’如图：∵∠A=∠A’，∠B=∠B’∴△A’B’C’∽△ABC如图：已知，在△ABC中，其中∠ADE=∠C，求证：△ABC∽△AED，AEDCB证明：在△ABC和△ADE，∵∠A=∠A∵∠ADE=∠C，∴△ABC∽△AED（两个角对应相等,那么这两个三角形相似.)(︺例题1：已知:△ABC和△DEF中,∠A=40°,∠B=80°.∠E=80°,∠F=60°.求证:△ABC∽△DEF.DEFABC40808060证明:∵在△ABC中,∠A=40°,∠B=80°,∴∠C=180°－40°－80°=60°∵在△DEF中,∠E=80°,∠F=60°.∴∠B=∠E,∠C=∠F∴△ABC∽△DEF(两个角对应相等,两三角形相似).3、课堂练习。（1）、已知ΔABC与ΔA/B/C/中，∠B=∠B/=750，∠C=500，∠A/=550，这两个三角形相似吗？为什么？（2）已知等腰三角形ΔABC和ΔA/B/C/中，∠A、∠A/分别是顶角，求证：①如果∠A=∠A/，那么ΔABC∽ΔA/B/C/。②如果∠B=∠B/，那么ΔABC∽ΔA/B/C/。ABCA/B/C/750750500550550ABCA/B/C/ABCA/B/C/例题2：已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB请找出图中一对相似三角形，并说明原因。证明：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，∴△ABC∽△CDB(两个角对应相等,两三角形相似).同理可证：△ABC∽△ACD∴△ABC∽△CBD∽△ACD.CABD已知：如图Rt△ABC中，CD是斜边上的高。求证：△ABC∽△CBD∽△ACD母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。在一次数学活动课上，为了测量河宽AB，张杰采用了如下的方法（如图）从A处沿与AB垂直的直线方向走40米到达C处，插一根标竿，然后沿同方向继续走15米到达D处，再向右转90度走到E处，使B、C、E三点恰好在一条直线上，量得DE＝20米，这样就可以求出河宽AB，请你算出结果（要求写出解题过程）。20ABDCE4015？相似的应用解：∵ＡＢ⊥ＡＤ，ＤＥ⊥ＡＤ，∴∠BAC=∠EDA=Rt∠∵∠ACB=∠DCE,∴△ABC∽△DEC∴∵AC=40,CD=15,DE=20∴∴DEABCDAC3160152040201540ABAB米。是答：河宽3160ABABDCE4015？20ABCDFDEO方法二方法三预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简单说成:两个角对应相等,两三角形相似.小结母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。三、课堂小结。１．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.２、相似三角形的判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。３、母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。４、A字型和X字型ADEBCABCDEADEB例题３如图：已知，AB，CD相交于点C，AB∥DE，（1）求证：△ABC∽△CDE（2）当AC=2，CE=3，AB=5，求DE的长。ABCDE已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出。ABCDE（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；F答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF.