最佳一致逼近多项式3.3

§3.3最佳一致逼近多项式/*BestmeanapproximationPolynomials*/3.3.1基本概念及其理论本节讨论所谓的最佳一致逼近问题或Chebyshev逼近问题，即satisfythatxxxSpanxpfindbaCxfnn12,,,)(],,[)(*)()(min)()()()()(**maxxpxfxpxfxpxfnPxpnbxannn定理（weierstrass定理）satisfyPxpbaCxf,)(,],,[)(0)()()()(maxxpxfxpxfbxa定理说明任意连续函数都可以用多项式来近似而且整体误差可以要多小就多小，只是多项式的次数可能高些；这个定理有许多种证明方法，公认最漂亮的是Benstaingei给出的。他给出的是构造性的方法如果限定多项式的次数，比如在次数不超过n的多项式集合中找一个多项式近似，那么误差会不会要多小就多小？如果不能,最大的误差会是多少？这就是本节要介绍的最佳一致逼近问题)1()1(where1100!)()(],[)()(),(kn-kn-nxxxpxxpnkfxfBnkknknkkknkn§3.2正交多项式/*OrthogonalPolynomials*/定义如果函数族={0(x),1(x),…,n(x),…}满足关系kjAkjxxxxxxkbakjkj0d)()()())(),((则称函数族是上带权的正交函数族。)(xk],[ba)(x称作标准正交函数族1kA定义（1）如果函数族={0(x),1(x),…,n(x),…}是首项系数不为零的多项式，且满足（1）式，则称多项式序列为在上带权正交，为上带权的n次正交多项式。)(x)(x],[ba)(xk)(xn],[ba3.2.1正交函数族与正交多项式1221)(],,[,sin,cos,sin,cos,xxxxxx1113112)(],,[,,xxxx定义1设nnnPxxSpanxpbaCf(x),,)(],,[1)()(maxinf),infxpxfpfEnbxaPpnPpnnnn(称0(),npf)()()()(),(maxxpxfxpxfpfnbxann为与在上的偏差。)(xpn)(xf],[ba称为在上与的偏差。],[ba)(xfnP是两点之间的距离是点到集合的距离设satisfy1,,,)(],,[*nnnPxxSpanxpifbaCf(x)定义2nnbxanExpxfpf)()(),(**max称是在上最佳一致逼近多项式。],[ba)(*xpn)(xf若],[)(baCxf，则总存在nnPxp)(*，使得nnnExpxfpf)()(),(**nnExpxf)()(00nnExpxf)()(00正负偏差点有多少？有什么特点？满足若存在，设],,[,)(],[)(baxPnxpbaCxfn0nnnnExpxfpfxpxf)()(),()()(00.)(的偏差点为称xpxn0定义定理定理负偏差点正偏差点nnPxp)(是],[)(baCxf的最佳一致逼近多项式的充要条件是)(xpn在],[ba上至少有2n个偏差点，而且他们轮流出现。这些轮流出现的偏差点称作Chebyshev交错点组。112,)()()()()(],[xfxpxfxpxnbakkkk使个点上有在证明：)()()()(maxxfxpxfxpbxa)()()()(),()(xpxfxQxfxpxQ有设一致！上的符号与在)()(,,)]()([)]()([)()(xfxpxxxxfxQxfxpxQxpn2210Q1[Q-2Q)()(],)()(.)()(xxpnbaxxpnxxp零点，但内有在由函数连续性知”号”、“个点上轮流取“也在)()()()(maxxfxpxfxpbxa（充分性）设)()(xQxpyo1x2xx3x5x4x即为与零偏差最小，其偏差的次多项式中上所有最高次项系数为，在.)arccoscos()()()(][112121nnnnnxnxTxTxn11多项式中存在唯一的最佳逼近则在如果nHbacxf],,[)(nnnnxxaxaxaaxp112210)(12100nnnxxp)()()()()()(maxmaxxTxTxTxnxnnnxnnn111111121220证明：推论定理1211nnnxxT)()(最小呢？为什么说)(xn)()()(*xpxxTxnnnnn1121现的最大最小值点交错出)arccoscos()(xnxTn时是不同的，当nknkxkkxnk,,,,,cos,,,,arccos210210个交错点组的存在。因为有次多项式！的最佳一致逼近是111nnxxpnn)(*1212nn多项式的次数.)()()(*式是与零偏差最小的多项最小，所以最小个交错点组的存在。因为有xxxpxnnnnn011次逼近多项式上的最佳，在求21[-112223])(xxxxf例次逼近多项式上的最佳，在设21[-1])(xfcbxaxxp22)()()()(max)()(maxcxbxaxxpxfxx12122311211次多项式！321222122311211)()()(max)()(maxcxbxaxxpxfxx22232232)()()()()()(xTxfxpxTxpxfxxxxxTxTcxbxax34322212221332313323)()()()()(12721232xxxTxfxp)()()(次逼近多项式上的最佳，在求21[012223])(xxxxf],[],,101[-121xttx，设12122121223ttttf)()()(],[11332210ttatataa12xt作业最佳一次逼近多项佳3.3.2.,)()(),)((,)(],,[)(属于交错点组，则的最佳一次逼近多项式是设baxfxpxfxfbacxf1200,由定理知bxxxa321.至少有三个交错点1111,)()()()()(xfxpxfxpkkk1100axfxpxfxfxf)()()()(),()(单调，xaaxp101)(0122axfxba)(.),(即内只有一个零点，记作在.,ba定是边界点另外的两个偏差点就一))(()()()(2210101010xfxaaafaaabfbaaafaaa22212021axaafxfaxfabafbfa)()()()()(定理oxyab2x)()()()(maxxpxfxpxfbxa11)()(xpxf1oxyab2xD22axD的横坐标