圆的切点弦方程

圆的切点弦方程222001.,(,)xyrMxy已知圆的方程求经过圆上一点的切线方程。22220000(,)xyrMxyxxyyr【结论1】过圆上一点的切线方程:。【方法】1.设出直线，再求解；2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。【问题】对于坐标平面内任一点),(00yxM，直线L：200ryyxx与圆O：222ryx究竟是什么关系呢？下面我们进行探究：一、当点M在圆O上时，直线L是圆的切线。二、当点M在圆O外时，1.直线L不是圆O的切线，下面证明之：∵圆心O到L的距离为222yxrd,由),(00yxM在圆O外,得ryx2020∴rd，故直线L与圆O相交.2.此时直线L与过点M的圆的切线又是什么关系呢?首先研究L的特征：易知：OML。2222002200,rrxyxy2,OAONOM(N为L与OM的交点)从而OAMA，MA为圆的一条切线，故直线L为过点M的圆的两条切线的两个切点所在的直线。事实上（另证），如图1，设过点M的圆O的两条切线为L1,L2,切点分别为A、B,则直线MA:211ryyxx，直线MB:222ryyxx.∵点M的坐标),(00yx满足直线MA与MB的方程,∴2010220101ryyxxryyxx,由此可见A、B的坐标均满足方程200ryyxx，由于两点确定一条直线∴直线AB的方程为200ryyxx。所以此时的直线L是经过点P的切点弦AB所在直线的方程，而不是圆O的切线。【注】上述点M、直线L实质上是射影几何中的极点和极线。Lyx图1M(x0,y0)oAB特别的，当M在圆上时，极线即为切线。三、当点M在圆O内时，1.直线L也不是圆O的切线。下面给出证明：∵圆心O到L的距离为222yxrd，由),(00yxM在圆O内,得ryx2020∴rd故直线L与圆O相离.2.此时直线L与圆的切线的关系又如何呢?首先研究L的特征：由上述探讨过程易知，直线LOM，此外，L一定过点P（P为两切线的交点，ABOM），从而L就在图2中过点P且与AB平行的位置处。事实上（另证），∵直线L的斜率00yxkl，而直线OM的斜率00xykom，∴OML一方面，过点M与OM垂直的直线0L方程为,0)()(0000yyyxxx即202000yxyyxx另一方面，将直线OM与L的方程联立xxyyryyxx00200，得到它们的交点P的坐标为),(202020202020yxryyxrx，由（二）可知过点P的圆的切点弦所在直线的方程为2202020202020ryyxryxyxrx，即202000yxyyxx，即为直线0L的方程。由此我们看到L∥0L，直线L是由点M确定的。另外，直线L是过点M的弦（除O，M的弦）的两个端点的圆的两条切线的交点轨迹，证明如下：设(,),Pxy由（二）可知动弦AB的方程为2xxyyr，又因为点M在AB上，则200xxyyr，以x，y分别代,xy，则200ryyxx。LPL0yx图2MoAB