简谐振动的动力学方程

课本的内容:14-1简谐振动14-2简谐振动中的振幅周期频率位相14-3旋转矢量14-4单摆和复摆课本pp1〜pp14(本讲内容重新组合)第14-1讲简谐振动的方程一、简谐振动的动力学方程Fkx22d0dxkxtm(1)1.弹簧振子kl0xmoAA22dxmdt222d0dxxt2km2单摆Mmgl22d0dgtl(2)sin2gxl记222d0dxxt(1)222d()dmltmgTOl3复摆Mmgl2mglxJ记oC*lP22d0dmgltJ(3)222d0dxxt(1)22dJdt222d0dxxt(1)简谐振动的动力学方程二、简谐振动的运动学方程(1)式的解是cos()xAt(4)sin()xAt或或cossinxAtBt约定(4)式简谐振动的运动学方程cos()xAt(4)dsin()dxAttv222dcos()dxaAtt1简谐振动速度加速度xtAAvt2Aatxt图cosxAttv图sinAtvcos()2Atat图2cosaAt2cos()At2描述简谐振动的特征量(1)振幅A(2)周期、频率、圆频率弹簧振子2mTk12kmkm单摆2lTg12glgl复摆2ITmgh12mghImghIcos()xAt0是t=0时刻的位相—初位相(3)位相和初位相0cos()xAt—位相，决定谐振动物体的运动状态0t(4)简谐振动的旋转矢量表示法xoAtttcos()xAt0tx请看动画……用旋转矢量图画简谐运动的图xt三简谐运动的特征Fkx1）0x222ddxxt2）cos()xAt3）(平衡位置)补一例……0000cossinxAvA2200vAx初始条件0000,ttxxvv000tanvx0cos()xAt四根据初始条件确定振幅和初位相例质量为M的盘子,系于竖直悬挂的轻弹簧下端.弹簧的劲度系数为k.质量为m的物体自离盘高处自由落下掉在盘上，没有反弹。求盘子的最大位移.mMh初始条件,,002mgmxvghkmM解：如图，选(m+M)平衡位置为坐标原点，选向下为x轴正方向。设振动方程为：cos()xAtkmM式中O0xmMhOx最大位移=22002()1()vmgkhAxkmMg用振动知识021()mgmgkhxAkkmMg211()mgkhkmMg一、简谐振动的动力学方程222d0dxxtcos()xAt二、简谐振动的运动学方程旋转矢量法xoAtttcos()xAt0tx初始条件确定A初位相小结例:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8cm.t=0时,x0=-9.8cm,v0=0⑴取开始振动时为计时零点，写出振动方程；(2)若取x0=0，v00为计时零点，写出振动方程,并计算振动频率。XOmx解：⑴确定平衡位置取平衡位置为原点/kmglmgkl令向下有位移x,则作谐振动设振动方程为9.810/0.098kgradsml0cos()xAt()fmgklxkx由初条件得000()0,varctgx2200()0.098vAxm由x0=Acos0=-0.0980cos00,取0=振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)m(2)按题意t=0时x0=0，v00x0=Acos0=0,cos0=00=/2,3/2v0=-Asin0,sin00,取0=3/2x=9.810-2cos(10t+3/2)m固有频率11.622gHzlXOmx例已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。31.415.731.415.701()ts1()vcms解：方法1100sin15.7vAcms0cos()xAt设振动方程为200cos0aA131.4mAvcms0015.71sin31.42vA0566或000,cos0a则061115.7tvcms1sin(1)62mvvAv7111666或716613.14s31.4103.14mvAcm故振动方程为10cos()6xtcm方法2：用旋转矢量法辅助求解。cos()xAtsin()cos()2mvAtvt131.4mvAcms100,cos(1)0a则0t1ts2vov的旋转矢量与v轴夹角表示t时刻相位2t由图知223611s31.4103.14mvAcm10cos()6xtcm