特级教师王连笑2009年高考数学思想方法与教学专题课件(8个ppt_)1[1].函数思想

指导数学解题的七个数学思想王连笑函数与方程的思想分类与整合的思想数与形结合的思想化归与转化的思想特殊与一般的思想有限与无限的思想或然与必然的思想对于如何解题这样一个经常遇到又十分普通的问题,不同的人有不同的处理方法.有的人在解题时,只是就题论题,把解题的兴奋点集中在题型与方法的形式主义的对号和单纯的演算上,因而他关心的是题目的模式和题型加方法的解题套路,常常遇到这样的场面：在解某一道题目时，同学甲是构造一个函数解决的，而同学乙没能解出来，当同学甲向同学乙介绍自己的解法时，同学乙会感慨地说：“我这么没有想到呢？”，在解一道选择题时，同学丙是通过计算解出来的，用了三分钟，而同学丁则是通过画图解决的，用了一分钟，这时，同学丙也会感慨地说：“我这么没有想到呢？”，这里的想到和没想到，本质上就是具备不具备数学思想，会不会用数学思想指导解题，同学乙实际上是没有考虑到用函数思想解题，没有用函数和变量去思考，而同学丙则是对数形结合的数学思想不能运用自如.这两个同学都是在解题中没有去注意数学的本质,没有用数学的基本思想去分析题目,指导解题.正如美国杰出的数学家R.柯朗(RichardCourant)在他的名著《什么是数学》的序言所讲的“近些年来,在许多事情的推动下,人们对数学知识与训练的需要日益增加.现今,除非学生和教师设法超越数学的形式主义,并努力去把握数学的实质,否则产生挫折和幻灭的危险将会更甚.”“数学教学有时竟演变成空洞的解题训练,这种训练虽然可以提高形式推导的能力,却不能导致真正的理解与深入的独立思考.”因此,要提高解题的能力和水平,首先就要站在较高的观点上去研究解题,就要从数学本质上去看待解题,就要在解题的规程中体现数学思想并注意发挥数学思想的功能.数学思想是数学的基本观点,是对数学概念、数学方法和数学发现等的本质认识,在解题中主要运用的数学思想有函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想和或然与必然的思想等.这些数学思想的名称与通常学习的数学概念或数学方法的名称有一些虽然相同,但是,数学概念和数学方法本身并不等于数学思想,它们之间有联系,又有区别,这些区别主要表现在不同的层次上.例如,学习了函数的定义和性质,并能基本运用,并不一定具备函数思想,当题目明确了所研究的对象是函数时,你可能会想到运用这个函数的性质去解决问题,如果没有明确所研究的对象是函数的时候，你是否想到用函数与变化的观点去思考与解决问题呢？又如，解方程中的消元法，恒等变形中的配方法，三角函数中的诱导公式，几何中的割补法等都是把问题向简单方向转化的具体方法，是化归与转化思想的具体体现，但是，化归与转化思想相对于消元法，配方法，诱导公式和割补法等来说，具有较高的层次。这就是说，数学中的一些具体方法都是在数学思想的指导下产生的，我们在解题的时候，如果能够站在数学思想的高度，抓住数学中最本质的东西去思考，就会高屋建瓴，就会使解题更加科学与合理，就会使解题从被动变为主动，就会形成较为完善的解题系统.让我们从一道高考试题的解题过程，体会一道数学题时如何在数学思想的指导下完成的.【例】(2004年福建卷,文)已知23243fxxaxxxR在区间1,1上是增函数.(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;(Ⅱ)设关于x的方程3312xxxf的两个非零实根为21,xx.试问:是否存在实数m,使得不等式2121xxtmm对任意Aa及1,1t恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.【分析及解】这是一道以三次函数形式呈现出来的函数问题.首先解决第(Ⅰ)问.这一问相当于xf在区间1,1上是增函数,求实数a的取值范围.2224xaxxf,由已知,xf在区间1,1上是增函数,等价于0xf对1,1x恒成立.即022axx对1,1x恒成立.这是一个含参数的不等式的问题,如何处理这一问题呢?首先是函数思想起了作用.把22axx看作函数.记22axxx.要使0x对1,1x恒成立,只要0maxx就可以了.所以问题转化为求x的最大值.由于2ax时,x为减函数,2ax时,x为增函数,因此,又要对x的对称轴相对于区间1,1x的中点的不同位置进行分类讨论.当02ax时,由x的图象(图1)可以看出,1最大.解不等式组0,21120.aa得.01a当02ax时,由x的图象（图2）可以看出,1最大.解不等式组0,21120.aa得.10a综合以上得11a.即11aaA.图2图1如果对函数图象比较熟悉的话,可以知道,x在1,1上的最大值只能在区间的端点得到,因此只要解.0211,0211aa就可以得到11aaA.下面研究第(Ⅱ)问.关于xf3312xx的方程可以化为32324xaxx3312xx.解得0x和022axx.由于082a,所以方程022axx有两个非零实根21,xx.下面计算21xx,由2,2121xxaxx得21xx=212214xxxx=82a.本题等价于是否存在m,使不等式12tmm82a①对Aa,1,1t恒成立.把82a看作关于a的函数Ta28a,则①式等价于12tmmaTmax②由于Aa,则aT82a381,从而②式转化为12tmm3,即022tmm③对1,1t恒成立我们又可以把③式的左边看作t的函数.记gt22mtm=22mtm.对0m或0m分类研究.若0m,③式化为20gt,显然不成立;若0m,tg是t的一次函数,这样,要使0tg对1,1t恒成立,只要01g及01g同时成立即可(图3，4).解不等式组.021,02122mmgmmg得2m或2m.所以存在实数m,使不等式12tmm21xx对任意Aa,1,1t恒成立.,其取值范围是22mmm或.图4图3这一试题的解题过程是以数学思想作指导的解题过程.①化归与转化思想:在解题规程中进行了几次化归和转化.第1次转化：把三次函数23243fxxaxxxR在区间1,1上是增函数转化为在这一区间0xf的问题;第2次转化：第(Ⅰ)问,把022axx对1,1x恒成立转化为x的最大值0成立的问题,第3次转化：x的最大值0成立的问题转化为求x的最大值的问题;第4次转化：第(Ⅱ问)把2121xxtmm转化为12tmm82a的问题；第5次转化:把12tmm82a转化为12tmmaTmax的问题；第6次转化：把12tmmaTmax又转化为022tmm对1,1t恒成立的问题；第7次转化：把022tmm对1,1t恒成立的问题转化为一次函数tg22mmt0对1,1t恒成立问题.第8次转化：把tg22mmt0对1,1t恒成立问题转化为求gt的最小值的问题．这8次转化每一次转化都是把生题化为熟题.②函数与方程思想:在解题过程中,我们多次把代数式看作函数,第1次是把22axxx看作是x的函数；第2次是把aT82a看作是a的函数；第3次是tg22mmt看作是t的函数。,从而把含参数的不等式问题化为函数的最值问题,此外还有对方程3312xxxf的根的讨论.③数形结合的思想:在解题过程中,我们利用x和)(tg的图象帮助思考.④分类讨论与整合思想:第1次分类：在求x的最大值时,对于x的图像,按对称轴的不同位置进行讨论,第2次分类：在解决一次函数tg220mtm的恒成立时,对0m和0m分类进行了讨论.⑤有限与无限思想:在求三次函数23243fxxaxxxR在区间1,1上是增函数的时候,运用了导数的方法.在解题的过程中，我们先后运用了几种数学思想才顺利完成，运用数学思想解题，简单地说，就是一个想得到还是想不到的问题，解这一道题时，我们想到了进行转化，想到了把代数式看作函数，把字母看作变量，想到了对不同情况的分类讨论，想到了用函数图象帮助思考，才能一步一步地解决问题，相反，如果我们没有想到把022axx对1,1x恒成立.的问题转化为x的最大值0成立的问题,没有实现这一转化，如果我们没有想到把22axxx看作是x的函数，问题可能不会得到解决.高考是选拔性考试，对中学生数学素养的要求体现在高考考试大纲上，无论是原来的考试大纲还是新课程标准的考试大纲，对中学生掌握数学思想的考查要求是很高的.高考对数学思想方法的要求：1.《考试大纲》的要求:“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查．”“对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法的理解．要从学科整体意义和思想价值立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．”2.高考评价报告要求:“数学在培养和提高人的思维能力方面有着其他学科所不可替代的独特作用，这是因为数学不仅仅是一种重要的“工具”或者“方法”，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想。高考数学科提出“以能力立意命题”，正是为了更好地考查数学思想，促进考生数学理性思维的发展。因此，要加强如何更好地考查数学思想的研究，特别是要研究试题解题过程的思维方法，注意考查不同思维方法的试题的协调和匹配，使考生的数学理性思维能力得到较全面的考查。”(《2002年普通高考数学科试题评价报告》（教育部考试中心）)3.考试中心对教学与复习的建议:在考试中心对数学复习的建议中指出：“数学思想方法较之数学基础知识有更高的层次．具有观念性的地位，如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，只能领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决.”．“数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时又应该领会它们在形成知识中的作用，到了复习阶段应该对数学思想方法和数学基本方法进行疏理、总结，逐个认识它们的本质特征、思维程序或者操作程序，逐步做到自觉地、灵活地施用于所要解决的问题．近几年来，高考的每一道数学试题几乎都考虑到数学思想方法或数学基本方法的运用，目的也是加强这些方面的考查.同样,这些高考试题也成为检验数学知识,同时又是检验数学思想方法的良好素材,复习时可以有意识地加以运用.”.(二)数学思想方法的三个层次:数学基本方法包括：待定系数法，换元法，配方法，割补法，反证法等；数学逻辑方法（或思维方法）包括：分析与综合。归纳与演绎，比较与类比，具体与抽象等；数学思想包括：函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想，或然与必然的思想等。在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，有意识地在复习中渗透数学思想，提升数学思想。1.函数与方程的思想考试中心对考试大纲的说明中指出：“高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。”什么是函数和方程思想？我们先从