隐函数的导数论文

数学科学学院本科学年论文隐含数的导数本科学年论文论文题目：隐函数的导数学生姓名：学号：专业：数学与应用数学班级：09届应数本一班指导教师：完成日期：2010年12月10日数学科学学院本科学年论文隐含数的导数隐函数的导数内容摘要本文章将给出隐函数的概念和隐函数的求导法则。且在一个二元方程所确定的隐函数的基础上进一步推广，并证明隐函数的存在性，连续性，隐函数在几何方面的应用等,并通过实例加以验证.ContentsummarySummarythisarticlewillgiveanotionofimplicitandhiddenfunctionsofderivationrules.Andinabinaryequationbyimplicitfunctiononthebasisofthefurtherpromotion,andtoprovetheexistenceofimplicitfunction,continuity,implicitfunctionintheapplicationofgeometricaspectsand,throughtheinstancetobeverified.关键词：隐函数的存在性隐函数的求导法则隐函数的应用Tags:hiddenfunctionsofimplicitfunctionderivationrulesimplicitapplicationofthe数学科学学院本科学年论文隐含数的导数目录一．隐函数的定义…………………………………………………1二.隐函数的存在性………………………………………………1三.隐含数求导法则………………………………………………1(一).应用复合函数求导法………………………………2(二).对数求导法………………………………………2四.隐含数导数在几何方面的应用……………………………4参考文献………………………………………………………6数学科学学院本科学年论文隐含数的导数序言在高等数学教学过程中，隐函数求导问题是一个非常重要的内容，因为导数是数学教学的基础，同时隐函数的求导问题一直是困扰数学学习的一个难点问题，隐函数求导中的诸多问题至今还未解决，隐函数求导问题是数学研究中非常重要的一个课题.本文中对隐函数求导常用的方法做了汇总，并通过实例加以验证，文章对隐函数的探讨限于一阶导数，并对隐函数的存在性及可导加以说明。数学科学学院本科学年论文隐含数的导数一：隐函数的定义：设有两个非空数集A与B，若任意x∈A，由二元方程F（x、y）=0对应唯一一个y∈B，则称此对应关系f（或写为y=f(x)）是二元方程F（x、y）=0确定的隐函数。二：隐函数的存在性：若二元函数Z=F（x、y）在以点(x0y0)为中心的矩形区域D（边界平行坐标轴）满足下列条件：1F'x（x、y）与F'y（x、y）在D上连续(从而F（x、y）在D连续);2F（x0、y0）=0;3F'y（x0、y0）0;则：ⅰ.0与0，x=(x0-、y0+)存在唯一一个y=f(x、y)（隐函数），使F[x、f(x)]=0，f(x0)=y0,且有y0-f(x)y0+;ⅱ.y=f(x)在区间连续；ⅲ.y=f(x)在区间有连续导数且F'（x、y）=-''(,)(,)xyFxyFxy。例：验证方程在指定点的领域存在以X为自变量的隐函数，并求dydx。1.xy+2lnx+3lny-1=0,点（1，1）。解：设F（x,y）=xy+2lnx+3lny-1ⅰ.F'x（x、y）=y+2x,F'y（x、y）=x+3y在点（1，1）连续；ⅱ.F(1,1)=0；ⅲ.F'y0；根据定理。在点X=1的领域有可导的隐函数y=f(x),其中dxdy=-yxxy32=-xyxyxy3222三.隐含数求导法则:(一).应用复合函数求导法:例1.求方程xy+3x2-5y=0确定的隐含数y=f(x)的导数。解：方程两端对X求导，由复合函数的求导法则（注意，y是x的函数），有数学科学学院本科学年论文隐含数的导数（xy+3x2-5y-7）'=0,(xy)'+3(x2)'-5(y)'-(7)'=0,xy'+y+6x-5y'=0,解得隐含数的导数y'=xyx56.例2.求方程ey=xy确定的隐含数y=f(x)的导数。解：方程两端对X求导，由复合函数的求导法则（注意，y是x的函数），有eyy'=y+xy'解得隐含数的导数：y'=xeyy=xxyy=)1(yxy.例3．证明双曲线12222byax上一点（00,yx）的切线方程是：.12020byyaxx（1）证明：首先求过点),(00yx（y00）的切线的斜率k，即求双曲线确定的隐含数y=f(x)的导数在点),(00yx的值。（'2222)byax=（1）'，.0222'2byyax解得y'=.22yaxb.在点),(00yx的切线斜率k=.0202yaxb从而，切线是：y-y0=)(00202xxyaxb或.2202202020byaxbyyaxx因为点),(00yx在双曲线上，所以.122022byaxo于是，所求的切线的方程是.12020byyaxx当y0=0时，有x0=a.过双曲线12222byax上点（)0,a的切线方程是x=a,也满足（1）式。（二）.对数求导法：将显函数化为隐含数的方法是在等号两端取绝对值再取对数，这就是对数求导数学科学学院本科学年论文隐含数的导数法。适用于幂指函数以及其他一些函数，举例如下：例1.求函数32axxy的导数。解：等号两端取绝对值的对数，有Lny=ln32axx=.ln31ln32axx由隐含数的求导法则，有.)(321.311.32'axxaxaxxyy即.)(3232'axxaxxaxy例2.求幂指函数)()(xvxuy(u(x)0)的导数。解：将幂指函数两端取对数，有lny=v(x)ln[u(x)].按隐含数求导法，对上式等号两端取对数，有,)()()()](ln['''xuxuxvxuvyy由此得到}.)()()()](ln[)({'''xuxuxvxuxvyy=)()(xvxu}.)()()()](ln[)({''xuxuxvxuxv例3.求函数32)2()13()1(xxxy的导数。解：等号两端取绝对值的对数，有32)2()13()1(lnlnxxxy=ln1x+xx2ln3113ln32由求导法则，有,21.31133.3211'xxxyy数学科学学院本科学年论文隐含数的导数即])2(3113211['xxxyy=32)2()13()1(xxx])2(3113211[xxx四.隐含数导数在几何方面的应用：4.1.空间曲线的切线与法平面：设空间曲线C的参数方程x=x(t),y=y(t),z=z(t)，tI(区间)（1）.切线方程：)()()()()()(0'00'00'0tztzztytyytxtxx（2）.法平面方程：0))(())(())((00'00'00'zztzyytyxxtx例：求螺旋线x=acost,y=asint,z=bt,在t0=3处的切线方程与法平面方程，解：x,sin'tabztay'',cos,切线方程是;bbzaayaax33cos3sin3sin3cos即bbzaayaax3223232法平面方程：0)3()23(2)2(23bzbayaaxa（二）：取面的切平面与法线：设曲面为S，S上的任意点M)(0,0,0zyx（1）.切平面方程：0)()()(000zzZFyyYFxxXFMMM（2）.法线方程：数学科学学院本科学年论文隐含数的导数MMMZFzzYFyyXFxx000例：求曲32323232azyx上点P(ozyx,,00)的切平面方程合法线方程。解：设32323232),,(azyxzyxF,32,32,3231'31'31'zFyFxFzyx由公式，曲面上P00,,0zyx的切平面方程与法线方程分别是：0)()()(031003100310zzzyyyxxx与310031003100zzzyyyxxx或)()()(031003100310zzzyyyxxx数学科学学院本科学年论文隐含数的导数参考文献[1].刘玉链傅沛仁数学分析讲义（第五版）[M].北京.高等教育出版社.2008.4[2].刘玉链傅沛仁数学分析讲义（第三版）[M].北京.高等教育出版社.1998..[3].柳重堪.高等数学[M].北京:中央广播电视大学出版社,2003..[4].李林曙黎诣远.经济数学基础-微积分[M].北京高等教育出版社,2005..[5].夏传武.微分在函数求导中的应用[T].徐州教育学院学报,2008,23(3):数学科学学院本科学年论文隐含数的导数学年论文成绩表学生姓名杨海兵班级应数本一班学号0908290089二级学院数学科学学院专业数学与应用数学论文题目隐函数的导数成绩指导教师评语指导教师签名：年月日系意见签字（盖章）：年月日二级学院意见签字（盖章）：年月日数学科学学院本科学年论文隐含数的导数-1-