动态电路的时域分析

第4章动态电路的时域分析•4.1•4.2一阶电路的零输入响应•4.3一阶电路的零状态响应•4.4•4.5•4.6一阶电路的阶跃响应•4.7微分电路与积分电路•4.8二阶电路的零输入响应•小结学习目标理解并掌握换路定律及初始值的计算。理解并掌握一阶电路的零输入响应。理解并掌握一阶电路的零状态响应。熟练掌握一阶电路的三要素法。理解并掌握一阶电路的阶跃响应。理解并掌握微分电路与积分电路。理解二阶电路的零输入响应能综合地运用电路的分析方法求解较复杂电路。4.1换路定律及初始值的计算4.1.1过渡过程的概念当开关S闭合时,电阻支路的灯泡立即发亮,而且亮度始终不变,说明电阻支路在开关闭合后没有经历过渡过程,立即进入稳定状态。电感支路的灯泡在开关闭合瞬间不亮,图4.1实验电路然后逐渐变亮,最后亮度稳定不再变化。RCL＋－USS(t＝0)图4.1实验电路电容支路的灯泡在开关闭合瞬间很亮,然后逐渐变暗直至熄灭。这两个支路的现象说明电感支路的灯泡和电容支路的灯泡达到最后稳定，都要经历一段过渡过程。一般说来,电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态的中间过程叫做电路的过渡过程。实际电路中的过渡过程是暂时存在最后消失,故称为暂态过程,简称暂态。RCL£«£­USS(t£½0)图4.1实验电路含有储能元件L、C（或称动态元件）的电路在换路时通常都要产生过渡过程。4.1.2换路定律及初始值的计算1.换路及换路定律设换路的瞬间,用来表示换路前的终了瞬间。用来表示换路后的初始瞬间。这样确定电路的初始状态，也就是确定换路后的初始时，电路中某条支路的电流值或电路中某两点间的电压值。0t0t0t0t)0()0()0()0(LLCCiiuu(4——1)在换路瞬间，电容元件的电流有限时，其电压uC不能跃变；电感元件的电压有限时，其电流iL不能跃变，这一结论叫做换路定律。则换路定律可表示为响应在换路后的最初一瞬间（即t=0＋时）的值称为初始值。电容电压的初始值uC(0+)和电感电流的初始值iL(0+)可按换路定律(4-1)式求出。t=0-时的值由换路前的电路求出，换路前电路已处于稳态，此时电容相当于开路，电感相当于短路。其他可以跃变的量的初始值可由t=0+时的等效电路求出。2.求独立初始值(1)作t=0-等效电路,求出uC(0—)和iL(0—);(2)根据换路定律确定出uC(0+)及iL(0+)。3.相关初始值计算(1)用电压为uC(0+)的电压源和电流为iL(0+)的电流源取代原电路中C和L的位置,可得t=0+等效电路;(2)以t=0+等效电路求出相关初始值。4.1.3研究过渡过程产生的实际意义研究电路的过渡过程有着重要的实际意义:一方面是为了便于利用它，例如电子技术中多谐振荡器、单稳态触发器及晶闸管触发电路都应用了RC充放电电路；另一方面，在有些电路中，由于电容的充放电过程可能出现过电压、过电流，进行过渡过程分析可获得预见，以便采取措施防止出现过电压、过电流。例4.1图4.2（a）所示电路中,已知US=18V,R1=1Ω,R2=2Ω,R3=3Ω,L=0.5H,C=4.7μF,－开关S在t=0时合上,设S合上前电路已进入稳态。试求i1(0+)、i2(0+)、i3(0+)、uL(0+)、uC(0+)。LCR3＋－USS(t＝0)R2＋－uC＋－uLR1i1iLi2＋－USiL(0－)R2R3uC(0－)＋－USiL(0＋)R2R3i2(0＋)i1(0＋)＋－uL(0＋)6A＋－12V(a)(b)(c)R1＋－图4.2例4.1图解:第一步,作t=0—等效电路如图4.2（b）所示,这时电感相当于短路,电容相当于开路。第二步,根据t=0—等效电路,计算换路前的电感电流和电容电压:VuuiiViRuRRUiCCLLLCSL12)0()0(6)0()0(1262)0()0(62118)0(221根据换路定律,可得第三步,作t=0+等效电路如图4.2（c）所示,这时电感L相当于一个12A的电流源,电容C相当于一个12V的电压源。第四步,根据t=0+等效电路,计算其它的相关初始值:ViRUuiiiRuUiLSLLcS66218)0()0(826)0()0()0(231218)0()0(22133例4.2图4.3（a）所示电路在t=0时换路,即开关S由位置1合到位置2。设换路前电路已经稳定,求换路后的初始值i1(0+)、i2(0+)和uL(0+)。＋－9V12i1S(t＝0)R2R1i26＋－uLL1HiLR1＋－USiL(0－)R1i1(0＋)i2(0＋)R23A＋－uL(0＋)(a)(b)(c)3图4.3例4.2图解(1）作t=0—等效电路如图4.3（b）所示。则有339)0()0(1RUiiSLL（2）作t=0+等效电路如图7.3（c）所示。由此可得ViRuiiiiRRRiLLL6)1(6)0()0(132)0()0()0(23636)0()0(22122121例4.3如图4.4（a）所示电路,t=0时刻开关S闭合,换路前电路无储能。试求开关闭合后各电压、电流的初始值。＋－10ViCR36＋－4uR1R1－＋＋3－R2iL＋－uLuR2S(t＝0)i＋－10ViC(0＋)6＋－4uR1－＋＋3－uL(0＋)i(0＋)(0＋)uR2(0＋)uR3(0＋)＋－(a)(b)uR3C＋－uCLR1R2R3图4.4例4.3图解（1）根据题中所给定条件,换路前电路无储能,故得出0)0()0(0)0()0(LLCCiiuu（2）作t=0+等效电路如图4.4（b）所示,这时电容相当于短路,电感相当于开路。则有VuuuViRuViRuiiRLRCRRC6)0()0(0)0(616)0()0(414)0()0(16410)0()0(323131作业：P134页4.14.24.2一阶电路的零输入响应4.2.1RC电路的零输入响应可用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。除电压源（或电流源）及电阻元件外，只含一个储能元件（电容或电感）的电路都是一阶电路。含有储能元件的电路与电阻电路不同，电阻电路中如果没有独立源就没有响应；含有储能元件时，即使没有独立源，只要储源能元件的或不为零，就可以由它们的初始储能引起响应。由于在这种情况下，电路中并无外电源输入，即输入为零，因而电路中引起的电压或电流就称为电路的零输入响应。）（0Cu）（0Li1、微分方程根据图4.5所示电路电压、电流的参考方向,依KVL,有S(t＝0)＋－uRR＋－uCCi图4.5RC电路的零输入响应)0(0tuuRC将（式中负号是因为电容电压和电流参考方向不一致）其代入上式可得dtduCiRiuCR,)0(0tudtduRCCC(4—2)式（4-2）是一个常系数一阶线性齐次微分方程。由高等数学知识可知其通解形式为uC=Aept。其中,常数p是特征方程的根,A为待定的积分常数。式（4-2）的特征方程可将uC=Aept代入而得RCCAeuRCpRCp1101特征根为所以将初始条件uC(0+)=Uo代入上式,可得A=Uo,则)0()(1teUtuRCoC（4—3）式（4-3）就是零输入响应,即电容放电过程中电容电压uC随时间变化规律的表达式。)0()()()0()(11teUtututeRUdtduCtiRCoCRRCoC（4—4）（4—5）从式（4-3）、（4-4）和式（4-5）中可以看出,电压uC(t)、uR(t)和电流i(t)都是按同样的指数规律衰减的,它们随时间变化的曲线如图4.6（a）、（b）所示。uC、uRUo0.368Uo0t(a)i0.3680t(b)UoRUoR图4.6RC电路零输入响应曲线2.RC电路的零输入响应曲线3.时间系数τ及其对暂态过程的影响秒伏秒安欧伏库欧法欧RCRC(7——6)引入时间常数τ后,式（4-3）、（4-4）和式（4-5）可表示为)0()()0()()0()(111teUtuteRUtiteUtuoRooC与时间单位相同，与电路的初始情况无关，所以将=RC称为RC电路的时间常数。uCUo0.368Uo01t231＜2＜3图4.7时间常数τ对暂态过程的影响现以电容电压uC(t)为例来说明时间常数τ的意义。图4.7画出了t=τ、2τ、3τ、…等不同时间的响应uC值例4.4如图4.8（a）所示电路,在t=0时刻开关S闭合,S闭合前电路已稳定。试求t≥0时的i1(t)、i2(t)和iC(t)。C0.5FiC6R1i1R23i22AuC(0£­)6R1R232A£«£­C0.5FiC6R1i1R23i2£«£­uC£«£­uCCRS(t£½0)(a)(b)(c)(d)图4.8例4.4图解（1）作t=0–等效电路如图4.8（b）所示。则有VuuCC632)0()0(（2）作t≥0电路如图4.8（c）所示,其等效电路如图4.8（d）所示。则等效电阻)0(615.0223636//21tVeusRCRRRC故电路的时间常数根据式（4—3）可得)0(3)()()0(2)()()0()()(2211tedttduCtiteRtutiteRtutiCCCC在图4.8（c）所示电路中,可求得作业：P134页4.24.34.44.51.RL电路零输入响应的数学分析＋－US12S(t＝0)RRSLiL(a)iL＋－uLLR(b)图4.9RL电路的零输入响应在图4.9（b）中,依KVL,可得)0(0tRiuLL4.2.2RL电路的零输入响应代入上式,可得dtdiLuLL)0(0tRidtdiLLL(4—7)式(4-7)也是一个常系数一阶线性齐次微分方程,与式（4-2）相似,其通解的形式为。其中,τ是电路的时间常数。特征方程为tLAeti)(LRpRLp0将电感的伏安关系则)0(tAeitLRL代入初始条件iL(0+)=Io,可得A=Io,故电路的零输入响应)0()()0()()0()(teRIeRIdtdiLtuteRIeRIRituteIeItitotTRoLLtotTRoLRtotTRoL(4-8)(4-9)(4-10)式(4-10)中电感电压为负值,是因为电流不断减小,根据楞次定律可知,电感上的感应电压,力图维持原来电流不变,故实际的感应电压的极性与参考极性相反,因而4-8）、（4-9）和式（4-10）中可以看出,iL(t)、uR(t)和uL(t)都是按同一时间常数的指数规律衰减,它们随时间变化的曲线如图4.10所示。u、iIoRIo0－RIouRiLuLt图4.10RL电路的零输入响应曲线2.RL电路零输入响应曲线RL电路的时间常数,同样具有时间量纲,其大小同样反映了电路中过渡过程进行的快慢。都可写成相同的形式,即RLu、iIoRIo0－RIouRiLuLt图4.10RL电路的零输入响应曲线)0()0()(teftft(4-11)例4.5如图4.11（a）所示为一测量电路,已知如图4.11（a）所示为一测量电路,已知L=0.4H,R=1Ω,US=12V,电压表的内阻RV=10kΩ,量程为50V。开关S原来闭合,电路已处于稳态。在t=0时,将开关打开,试求:（1）电流i(t)和电压表两端的电压uV(t);（2）t=0时（S刚打开）电压表两端的电压。RLV＋－iS(t＝0)＋uV－US(a)＋－uViRL(b)RVRV图4.11例4.5图解（1）t≥0电路如图4.11（b）所示,为一RL电路。电路的时间常数为sRRLV53104101