动态电路的状态方程

状态方程主要内容状态变量分析的基本概念状态方程和输出方程的建立1状态变量分析的基本概念（1）状态•电路的状态：一组最少数据1、对于某一任意的时刻t0，可以根据t0时刻的状态及t≥t0时的输入波形来唯一地确定t＞t0的任一时刻的状态；2、根据在t时刻的状态及t时刻的输入(或者输入的导数)能够唯一地确定在t时刻的任一电路变量的值。::电路的状态实质上是指电路的储能状况。（2）状态变量状态变量：描述状态的变量动态电路的状态变量是确定动态电路运动行为的最少一组变量。记作12n,,,xxx21W()()2CCtCut212qCq独立完备变量初始状态:电路在初始时刻t=t0的状态Cu21W()()2LLtLit212LLi状态方程（3）状态方程xAxBuA为系数矩阵，B为控制矩阵1zAzABBu规范化：1xAxBuBu1xzBu变换：线性时不变电路(4)输出方程yCxDuy为输出向量，x为状态向量,u为输入向量C和D为仅与电路结构和元件值有关的系数矩阵联系输出与状态变量和输入之间的关系式线性时不变电路规范型状态方程的特征:(1)每个方程式的左端只有一个状态变量对时间的一阶导数;(2)每个方程式右端是激励函数与状态变量的某种函数关系,但不出现对时间的导数项。ExAxCu•半状态描述(semi-statedescription)E为奇异矩阵DescriptorForm广义系统（Descriptorsystem）描述系统独立完备状态变量全电容回路仅由电容和电压源组成的回路全电容回路又称为纯电容回路两个术语uC和iL选作电路的状态变量全电容回路示例1C2C3C4C1C2C3Csu全电感割集仅由电感和电流源组成的割集1L2Lsi1N2N1N2N全电感割集又称为纯电感割集全电感回路示例独立电容电压全电容回路中一个电容电压不独立1C2C3C4C1C2C3Csu2u1u3u4u2u3u1u12340uuuu123suuuu独立电感电流全电感割集中一个电感电流不独立1L2Lsi1N2N1N2N2i1i1i2i3i1230iii12siii2状态方程的建立状态方程的建立方法直接编写法直观列写法系统列写法网络拓扑法间接编写法由输入－输出方程编写由转移函数编写由信号流图(或系统框图)编写状态方程的直观列写法例题列写步骤：(1)选取所有的独立电容电压和独立电感电流作为预选状态变量；(2)对每个独立的电容，选用一个割集，并依据KCL和电容的VAR列写节点方程；(3)将上述方程中除输入以外的非状态变量用状态变量和输入表示，并从方程中消去，然后整理成标准形。对每个独立的电感，选用一个回路，并依据KVL和电感的VAR列写回路方程；例1列写如图所示电路的状态方程。12ddCuCiit解对接有电容C的节点a列写节点方程－＋absusiC2L1LR－＋Cu1i2i选电容电压uC和电感电流i1、i2为状态变量11ddCsiLuut221ddCsiLuuut对含有L1的回路C-L1-uS列写回路方程－＋1u－＋absusiC2L1LR－＋Cu1i2i12()suRii222ddCssiLuRiRiut对含有L2的回路C-L2-R-uS列写回路方程12ddCuCiit11ddCsiLuut222ddCssiLuRiRiut12d11dCuiitCC111d11dCsiuutLL222222d11dCssiRRuiiutLLLL矩阵形式11112222221100011000110CCssdudtCCuudiiidtLLidiRRdtLLLL一、状态方程的直观列写法（续）例题借助拓扑图的列写步骤：(1)包含所有的独立电压源；不包含独立电流源。(2)包含尽可能多的电容和压控型高阶元件；(3)包含尽可能少的电感和流控型高阶元件；1.选择树2.选树支上电容电压和连支上电感电流为预选状态变量3.对电容树支的基本割集列写KCL方程；对电感连支的基本回路列写KVL方程。4.借助未利用的基本割集和基本回路将非状态变量用状态变量和输入表示，并从方程中消去，整理成标准形。例2列写如图所示电路的状态方程。－＋CuLii解每个元件作为一条支路，可作出图示的有向图(实线为树支)。选和为状态变量。对基本割集列写KCL方程－＋12F11Hsu2CLduidti42351CiuLCiu－＋CuLi－＋12F11Hsu对基本回路列写KVL方程LCLsdiuiudt423512CCLduuidt写成标准形式0.50.50111CCsLLduudtuididtJump从输入－输出方程到状态方程()(1)11nnnnmyayayaybu12(1)nnxyxyxy(1)()()()nytytyt、、、取为系统的n个状态变量,且设ubxaxaxaxxxxxxxmnnnnnn121113221矩阵形式状态方程的矩阵形式为ubxxxxaaaaxxxxmnnnnnnn000100001000010121121121系统的输出方程：12100nxxyxyCx100C1xyTHEEND例3列写图示电路的状态方程。解对C1、C3和us组成全电容回路对L2、L4和is构成全电感割集故u1和u3两个电容电压只能选其中之一为状态变量；电路的有向图如图示－＋susi1C3C2L4L4R3R－＋1u3u－＋2i4i13uuussiii24故i2和i4两个电感电流只能选其中之一为状态变量。，故选u1和i2为状态变量。4213567，应用KVL得，应用KCL得返回(back)－＋susi1C3C2L4L4R3R－＋1u3u－＋2i4i4213567对基本回路列写KVL1444422uiRdtdiLdtdiL对基本割集列写KCL方程，得2533311iRudtduCdtduC－＋susi1C3C2L4L4R3R－＋1u3u－＋2i4i4213567消去u3和i4，整理成标准形式的状态方程返回(back)151313122242435131344242411()14100()00ssssduRCCCCudtidiRdtLLLLCduRCCCCudtidiRLLLLLdt例4列出图示电路的状态方程和输出方程。设输出为电阻电压u3和u4。解电路的有向图如图示。－＋1H1F1H11su－＋Cu1i2i选取uC、i1和i2为状态变量4u－＋－＋3u含电容的基本割集电流方程为21iidtduCsCCuiudtdiiudtdi3231含电感的基本回路电压方程分别为－＋1H1F1H11su－＋Cu1i2i4i3i对基本割集列写电流方程3412iiiisuiii5.05.05.0213sCsCuiiudtdiuiiudtdi5.05.05.05.05.05.0212211代入基本回路电压方程，得34siiu对基本回路列写电压方程状态方程的矩阵形式为sCCuiiudtdidtdidtdu5.05.005.05.015.05.011102121suiii5.05.05.0214由suiii5.05.05.021334siiu和根据欧姆定律：3344uiuisCuiiuuu5.05.05.05.005.05.002143返回(back)输出方程的矩阵形式为12120.50.50.50.50.50.5ssiiuiiu