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第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考纲展示1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.知识梳理自测考点专项突破知识梳理自测把散落的知识连起来【教材导读】1.目标函数z=ax+by(ab≠0)中z有什么几何意义?其最值与b有何关系?提示:目标函数z=ax+by可转化为y=-abx+zb,其中zb是直线y=-abx+zb的截距.当b0时,截距zb取最大值时,z也取得最大值,截距zb取最小值时,z也取最小值;当b0时,截距zb取最大值时,z取最小值,截距zb取最小值时,z取最大值.2.最优解一定唯一吗?提示:不一定.当线性目标函数对应的直线与可行域多边形的一条边平行时,最优解可能有多个甚至无数个.知识梳理1.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的,叫做二元一次不等式(组)的解,所有这样的构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.有序数对(x,y)有序数对(x,y)2.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域表示区域不等式Ax+By+C0直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不包括.Ax+By+C≥0包括.不等式组各个不等式所表示平面区域的.边界边界公共部分(2)平面区域的确定对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都,所以只需在此直线的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号即可断定Ax+By+C0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.相同3.线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x,y组成的.线性约束条件由x,y的不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求或的函数线性目标函数关于x,y的解析式可行解满足的解(x,y)可行域所有组成的集合最优解使目标函数取得或的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题不等式(组)一次最大值最小值一次线性约束条件可行解最大值最小值双基自测1.下列命题中正确的是()(A)点(0,1)在区域x-y+10内(B)点(0,0)在区域x+y+10内(C)点(1,0)在区域y≥2x内(D)点(0,0)在区域x+y≥0内D解析:将(0,0)代入x+y≥0,成立.故选D.2.在平面直角坐标系xOy中,不等式组13,11xyxy表示图形的面积等于()(A)1(B)2(C)3(D)4B解析:不等式组对应的平面区域如图,即对应的区域为正方形ABCD,其中A(0,1),D(1,0),边长AD=2,则正方形的面积S=2×2=2.3.(2017·广西二市联考)已知x,y满足条件50,0,3,xyxyx则z=13yx的最大值为()(A)2(B)3(C)-23(D)-53B解析:作出可行域如图,问题转化为区域上哪一些与点M(-3,1)连线斜率最大,观察知点A(-52,52),使kMA最大,zmax=kMA=512532=3.解析:画出可行域为阴影部分.z=-3x+y,即y=3x+z过交点A时,z最小.解20,40,xyxy得1,3,xy即A(1,3),所以zmin=-3×1+3=0.4.已知x,y满足20,40,330,xyxyxy则z=-3x+y的最小值为.答案:0解析:(-2,t)在2x-3y+6=0的上方,则2×(-2)-3t+60,解得t23.5.点(-2,t)在直线2x-3y+6=0的上方,则t的取值范围是.答案:{t|t23}考点专项突破在讲练中理解知识考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(2017·山东滨州一模)记不等式组0,34,34xxyxy所表示的平面区域为D,若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是.解析:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,因为直线y=a(x+1)恒过定点C(-1,0),由图并结合题意易知kBC=12,kAC=4,所以要使直线y=a(x+1)与平面区域D有公共点,则12≤a≤4.答案:[12,4]反思归纳(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是:“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应于特殊点异侧的平面区域.(2)当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.触新的教材相信不管是对于同学自己而言还是对于家长朋友们而言，可能都还需要一定的时间去适应，但学习是一刻也不能松懈的事情，新学期除了适应教材的变化以外，一些试题的变化也必须适应，因此就必须在课下进行一些练习。但是问题就来了，很多家长朋友都表示孩子现在换了教材，但是自己找到的课外练习题却还是原来的教材版本的，不适应孩子的教材，不知道该怎么办才好了，眼看孩子马上就要结束第一单元的学习了，可是一直没找大适合的资料，没办法进行课后的巩固练习了。zgl跟踪训练1:(2017·四川广元质检)若不等式组20,220,20,xyxyxym表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m的值为()(A)-3(B)1(C)43(D)3解析:不等式组表示的平面区域如图,则图中A点纵坐标yA=1+m,B点纵坐标yB=223m,C点横坐标xC=-2m,所以S△ABD=S△ACD-S△BCD=12×(2+2m)×(1+m)-12×(2+2m)×223m=2(1)3m=43,所以m=1或m=-3,又因为当m=-3时,不满足题意,应舍去,所以m=1.故选B.考点二目标函数的最值问题★★★★考查角度1:求线性目标函数的最值【例2】导学号38486107(2017·全国Ⅰ卷)设x,y满足约束条件21,21,0,xyxyxy则z=3x-2y的最小值为.解析:作出不等式组表示的可行域,如图所示.因为z=3x-2y,y=32x-2z,平行移动y=32x-2z,易知当直线经过点A,即x+2y=1与2x+y=-1的交点A(-1,1)时,z=3x-2y取最小值,为z=3×(-1)-2×1=-5.答案:-5考查角度2:求非线性目标函数的最值【例3】已知220,240,330.xyxyxy当x,y取何值时,x2+y2取得最大值、最小值?最大值、最小值各是多少?解:如图,作出可行域(图中的阴影部分),可行域是封闭的△ABC(包括边界),由240,330,xyxy得顶点A(2,3),同理可得B(0,2),C(1,0),因为x2+y2是可行域内一点P(x,y)到原点的距离的平方,所以,当P(x,y)和A(2,3)重合时,(x2+y2)max=22+32=13,显然,原点到直线BC:2x+y-2=0的距离d最小,这里d=22200221=25,(x2+y2)min=d2=45,此时点P的坐标满足22220,45xyxy⇒4,525xy即点P的坐标为(45,25).综上可知,当x=2,y=3时,x2+y2取得最大值,最大值是13;当x=45,y=25时,x2+y2取得最小值,最小值是45.反思归纳求解非线性规划问题的基本方法是利用目标函数的几何意义求解.常见非线性目标函数类型及其几何意义.(1)22xy表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,22xayb表示点(x,y)与点(a,b)的距离.(2)yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,ybxa表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.(3)22||AxByCAB表示点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离.考查角度3:由目标函数的最值求参数【例4】导学号18702283(1)x,y满足约束条件20,220,220,xyyxxy若z=y-2ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为()(A)1或-12(B)12或-1(C)2或1(D)2或-1解析:(1)作出不等式组所对应的平面区域如图,由z=y-2ax得y=2ax+z,当直线y=2ax+z的纵截距最大时,z最大.若a=0,则y=z,此时目标函数只在A处取得最大值,不满足题意;若a0,则y=2ax+z的斜率k=2a0,要使z=y-2ax取得最大值的最优解不唯一,则直线y=2ax+z与直线2x-y+2=0平行,此时2a=2,即a=1;若a0,则y=2ax+z的斜率k=2a0,要使z=y-2ax取得最大值的最优解不唯一,则直线y=2ax+z与直线x+y-2=0平行,此时2a=-1,解得a=-12.综上,a=1或a=-12,故选A.解析:(2)如图可得阴影部分即为满足x-1≤0与x+y-1≥0的可行域,而直线ax-y+1=0恒过点(0,1),故看作直线绕点(0,1)旋转,若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2,则它是三角形,设该三角形为△ABC,因为A(0,1)和B(1,0),且S△ABC=2,设C(1,y),则12×1×y=2⇒y=4,将点C(1,4)代入ax-y+1=0得a=3.故选D.(2)在平面直角坐标系中,若不等式组10,10,10xyxaxy(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为()(A)-5(B)1(C)2(D)3反思归纳此类问题综合性较强,注意到形如y=kx+b(b为常数),ax-y+1=0等都是含参数且恒过定点的直线,因此我们常采用数形结合求解.注意把握两点:(1)参数的几何意义;(2)条件的合理转化.考点三线性规划的实际应用【例5】(2016·天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;解:(1)由已知,x,y满足的数学关系式为45200,85360,310300,0,0.xyxyxyxy该二元一次不等式组所表示的平面区域为图(1)中的阴影部分.(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-23x+3z,它的图象是斜率为-23,随z变化的一族平行直线,3z为直线在y轴上的截距,当3z取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图(2)可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距3z最大,即z最大.解方程组45200,310300,xyxy得点M的坐标为(20,24),所以zmax=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.反思归纳解线性规划应用问题的一般步骤(1)分析题意,设出未知量.(2)列出线性约束条件和目标函数.(3)作出可行域并利用数形结合求解.(4)作答.而求线性规划的最值问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等,最后结合图形确定目标函数在何处取得最值.跟踪训练2:某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过