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-1-2018-2019学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知全集，集合，，则_____【答案】【解析】【分析】直接利用并集、补集的运算即可．【详解】解：A∪B＝{0，1，3}；∴{2，4}．故答案为：{2，4}．【点睛】本题考查列举法的定义，以及并集、补集的运算．2.函数f（x）=的定义域为______．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式，解出即可．【详解】解：由题意得：2x﹣4≥0，解得：x≥2，故函数的定义域是[2，+∞），故答案为：[2，+∞）．【点睛】本题考查了函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．3.已知角的终边经过点，则的值为_____【答案】【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得sinα、tanα的值，可得的值．【详解】解：∵角α的终边经过点P（﹣5，12），∴sinα，tanα，-2-则，故答案为：．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4.已知向量，，且，则实数的值为_____【答案】【解析】【分析】直接由向量共线的坐标运算得答案．【详解】解：∵量（4，﹣3），（x，6），且∥，则4×6﹣（﹣3）x＝0．解得：x＝﹣8．故答案为：﹣8．【点睛】平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若（a1，a2），（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2＝0，∥⇔a1b2﹣a2b1＝0，是基础题．∴∴∴。，、5.已知，则的值为_____【答案】【解析】【分析】根据对数的运算性质和对数式和指数式的互化即可求出．【详解】解：x＝log612﹣log63＝log64，∴6x＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了对数的运算性质和对数式和指数式的互化，属于基础题．6.如图，在直角三角形中，，，，垂足为，则的值为_____-3-【答案】【解析】【分析】把代入化简通过向量的数量积的定义求解即可．【详解】解：在直角三角形ABD中，BD＝ABcos60°＝1••（）•4+2×1×cos120°＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力7.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则的值为_____【答案】【解析】【分析】根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，可得g（0）的值．【详解】解：将函数f（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）＝2sin（2x）的图象，∴∴∴。，、则g（0）＝2sin，故答案为：．【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.已知a＞0且a≠1，若函数f（x）=的值域为[1，+∞），则a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的表达式，结合函数的值域，列出不等式求解a的范围即可．-4-【详解】解：a＞0且a≠1，若函数f（x）的值域为[1，+∞），当x≤2时，y＝3﹣x≥1，所以，可得1＜a≤2．故答案为：（1，2]．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．9.已知向量与满足，．又，，且在时取到最小值，则向量与的夹角的值为____【答案】【解析】【分析】由向量的模的运算得：||2＝[（1﹣t）t]2＝（5+4cosθ）t2﹣2（1+2cosθ）t+1，由二次函数的最值用配方法可得解．∴∴∴。，、【详解】解：设向量与的夹角的值为θ，由t，（1﹣t），（1﹣t）t，||2＝[（1﹣t）t]2，＝（1﹣t）2+4t2﹣4t（1﹣t）cosθ＝（5+4cosθ）t2﹣2（1+2cosθ）t+1，又5+4cosθ＞0，所以当t取得最小值.解得：cosθ，又θ∈[0，π]，所以θ，故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的数量积及二次函数的最值问题，属中档题．-5-10.已知函数，．若使不等式成立的整数恰有个，则实数的取值范围是____【答案】【解析】【分析】作出y＝g（x）的图象，讨论k＝0，k＜0，k＞0，结合抛物线开口方向和整数解的情况，即可得到所求范围．∴∴∴。，、【详解】解：g（x）＝sin的周期为4，作出y＝g（x）的图象，当k＝0时，f（x）＝﹣x，不等式f（x）＜g（x）成立的整数x有无数个；当k＜0时，f（x）的图象为抛物线，且开口向下，恒过原点，不等式f（x）＜g（x）成立的整数x有无数个；当k＞0，可得不等式f（x）＜g（x）成立的整数x＝1，当f（x）的图象经过（1，1），可得k﹣1＝1，即k＝2；f（x）的图象经过（2，0），即4k﹣2＝0，解得k．由题意可得k＜2．故答案为：[，2）．【点睛】本题考查函数方程的转化思想和数形结合思想，考查正弦函数的周期性和分类讨论思想方法，属于中档题．∴∴∴。，、二、选择题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知，，，则，，的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】B-6-【解析】【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【详解】解：∵a＝log1.40.7＜log1.41＝0，b＝1.40.7＞1.40＝1，0＜c＝0.71.4＜0.70＝1，∴a，b，c的大小关系是a＜c＜b．故选：B．【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．∴∴∴。，、12.函数f（x）=xsinx，x∈[-π，π]的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的位置判断即可．【详解】解：f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）＝xsinx＝f（x），所以f（x）为偶函数，即图象关于y轴对称，则排除B，C，当x时，f（）sin0，故排除D，故选：A．【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置的应用，考查计算能力．13.在平行四边形中，，若，则的值是（）A.B.C.D.-7-【答案】C【解析】【分析】由•11，结合向量加法的平行四边形法则及向量数量积的运算可求，然后代入，•（）即可求解．【详解】解：平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，又∵•11，∴9＝11，∴2，则•（）16+2＝18．故选：C．【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的基本运算，属于基础试题．14.已知函数()的图象与函数的图象交于，两点，则（为坐标原点）的面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意利用三角函数的图象，求得A、B的坐标，用分割法求△OAB的面积．【详解】解：函数y＝2cosx（x∈[0，π]）和函数y＝3tanx的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，∴∴∴。，、由2cosx＝3tanx，可得2cos2x＝3sinx，即2sin2x+3sinx﹣2＝0，求得sinx，或sinx＝﹣2（舍去），结合x∈[0，π]，∴x，或x；∴A（，）、B（，），画出图象如图所示；-8-根据函数图象的对称性可得AB的中点C（，0），∴△OAB的面积等于△OAC的面积加上△OCB的面积，等于•OC•|yA|OC•|yC|•OC•|yA﹣yC|••2π，故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知向量，，向量满足．（1）求向量的坐标；（2）求向量与的夹角．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设（x，y），由••5，得，得（3，﹣1）；（2）由（2，1），（3，﹣1），可得||，||，•，进一步得cosθ，又θ∈[0，π]，可得θ．【详解】解：（1）设=（x，y），因为=（2，1），=（1，-2），•=•=5，所以解得-9-所以=（3，-1）；（2）因为=（2，1），=（3，-1），所以||=，||=，又•=2×3+1×（-1）=5，所以cosθ===，又θ∈[0，π]，所以θ=．【点睛】本题考查向量的数量积的应用及坐标运算，考查计算能力．16.已知是第二象限角，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求值得解；（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求值得解．【详解】解：（1）因为α是第二象限角，且sinα=，所以cosα=-=-，所以tanα==-2．（2）===-10-==．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．∴∴∴。，、17.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调增区间；（3）若x∈[-，0]，求函数f（x）的值域．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式；（2）令2kπ2x2kπ，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间；（3）由x∈[，0]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．【详解】解：（1）由函数的图象可得A=2，T=•=-，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，故f（x）=2sin（2x+）．（2）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ-≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．（3）若x∈[-，0]，则2x+∈[-，]，∴sin（2x+）∈[-1，]，故f（x）∈[-2，1]．-11-【点睛】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的增区间、正弦函数的定义域和值值域，属于基础题．∴∴∴。，、18.某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工（万元）与精加工的蔬菜量（吨）有如下关系：设该农业合作社将（吨）蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）为（万元）．∴∴∴。，、（1）写出关于的函数表达式；（2）当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）；（2）精加工吨时，总利润最大为万元.【解析】【分析】（1）利用已知条件求出函数的解析式；（2）利用二次函数的性质，转化求解函数的最值．【详解】解：（1）由题意知，当0≤x≤8时，y=0.6x+0.2（14-x）-x2=-x2+x+，当8＜x≤14时，y=0.6x+0.2（14-x）-=x+2，即y=（2）当0≤x≤8时，y=-x2+x+=-（x-4）2+，所以当x=4时，ymax=．当8＜x≤14时，y=x+2，所以当x=14时，ymax=．因为＞，所以当x=4时，ymax=．-12-答：当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为万元．【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．19.如图，在中，，，，是边上一点，且．（1）设，求实数，的值；（2）若点满足与共线，，求的值．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）把两边用表示即可得解；（2）利用共线向量建立，之间的数乘关系，进而结合（1）把用表示，利用垂直向量点积为零可得解．【详解】解：（1），∴，∴，∴x=，y=；（2）∵共线，∴可设，λ∈R，-13-∵∴，∴=-=，，=，∴=，…①∵，∴，，，…②把②代入①并整理得：∴，∵，∴，∴，解得：，∴=或．故的值为或．【点睛】此题考查了平面向量基本定理，向量加减法，数量积等，难度适中．20.给定区间，集合是满足下列性质的函数的集合：任意，．（1）已知，，求证：；（2）已知，．若，求实数的取值范围；（3）已知，()，讨论函数与集合的关系．-14-【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）通过f（x+1）﹣2f（x）＝3x+1﹣2×3x＝3x＞0，验证即可．（2