最优控制理论课件

2020年2月23日星期日现代控制理论12020年2月23日星期日2最优控制理论东北大学信息科学与工程学院井元伟教授二○○九年十一月2020年2月23日星期日3第2章求解最优控制的变分方法第3章最大值原理第4章动态规划第5章线性二次型性能指标的最优控制第6章快速控制系统第1章最优控制问题最优控制理论现代控制理论的重要组成部分20世纪50年代发展形成系统的理论研究的对象控制系统中心问题给定一个控制系统，选择控制规律，使系统在某种意义上是最优的统一的、严格的数学方法最优控制问题研究者的课题，工程师们设计控制系统时的目标最优控制能在各个领域中得到应用，效益显著1.1两个例子1.2问题描述第1章最优控制问题最优控制问题1.1两个例子例1.1飞船软着陆问题2020年2月23日星期日现代控制理论7最优控制问题1.1两个例子例1.1飞船软着陆问题m飞船的质量h高度v垂直速度g月球重力加速度常数M飞船自身质量F燃料的质量软着陆过程开始时刻t为零K为常数2020年2月23日星期日现代控制理论8最优控制问题1.1两个例子例1.1飞船软着陆问题hvuvgmmKum飞船的质量h高度v垂直速度g月球重力加速度常数M飞船自身质量F燃料的质量软着陆过程开始时刻t为零K为常数2020年2月23日星期日现代控制理论9最优控制问题1.1两个例子例1.1飞船软着陆问题hvuvgmmKum飞船的质量h高度v垂直速度g月球重力加速度常数M飞船自身质量F燃料的质量软着陆过程开始时刻t为零K为常数初始状态0(0)hh0(0)vvFMm)0(2020年2月23日星期日现代控制理论10最优控制问题1.1两个例子例1.1飞船软着陆问题hvuvgmmKum飞船的质量h高度v垂直速度g月球重力加速度常数M飞船自身质量F燃料的质量软着陆过程开始时刻t为零K为常数初始状态0(0)hh0(0)vvFMm)0(终点条件0)(Th0)(Tv2020年2月23日星期日现代控制理论11最优控制问题1.1两个例子例1.1飞船软着陆问题hvuvgmmKum飞船的质量h高度v垂直速度g月球重力加速度常数M飞船自身质量F燃料的质量软着陆过程开始时刻t为零K为常数初始状态0(0)hh0(0)vvFMm)0(终点条件0)(Th0)(Tv)(TmJ控制目标2020年2月23日星期日现代控制理论12最优控制问题1.1两个例子例1.1飞船软着陆问题hvuvgmmKum飞船的质量h高度v垂直速度g月球重力加速度常数M飞船自身质量F燃料的质量软着陆过程开始时刻t为零K为常数初始状态0(0)hh0(0)vvFMm)0(终点条件0)(Th0)(Tv)(TmJ控制目标max0()utu推力方案2020年2月23日星期日现代控制理论13最优控制问题例1.2导弹发射问题最优控制问题例1.2导弹发射问题2020年2月23日星期日现代控制理论15最优控制问题例1.2导弹发射问题()cos()()sin()FtxtmFtytm2020年2月23日星期日现代控制理论16最优控制问题例1.2导弹发射问题()cos()()sin()FtxtmFtytm初始条件0)0(x0)0(y0)0(x0)0(y2020年2月23日星期日现代控制理论17最优控制问题例1.2导弹发射问题()cos()()sin()FtxtmFtytm初始条件末端约束0)0(x0)0(y0)0(x0)0(y12(),(),(),()()0(),(),(),()()0gxTyTxTyTyTgxTyTxTyTyTh2020年2月23日星期日现代控制理论18最优控制问题例1.2导弹发射问题()cos()()sin()FtxtmFtytm初始条件末端约束指标0)0(x0)0(y0)0(x0)0(y12(),(),(),()()0(),(),(),()()0gxTyTxTyTyTgxTyTxTyTyTh(),(),(),()()JxTyTxTyTxT2020年2月23日星期日现代控制理论19最优控制问题例1.2导弹发射问题()cos()()sin()FtxtmFtytm初始条件末端约束指标0)0(x0)0(y0)0(x0)0(y12(),(),(),()()0(),(),(),()()0gxTyTxTyTyTgxTyTxTyTyTh(),(),(),()()JxTyTxTyTxT)(t控制最优控制问题1.2问题描述(1)状态方程一般形式为2020年2月23日星期日现代控制理论21最优控制问题1.2问题描述(1)状态方程一般形式为00()((),(),)()|ttxtfxtuttxtx2020年2月23日星期日现代控制理论22最优控制问题1.2问题描述(1)状态方程一般形式为00()((),(),)()|ttxtfxtuttxtx()nxtR为n维状态向量2020年2月23日星期日现代控制理论23最优控制问题1.2问题描述(1)状态方程一般形式为00()((),(),)()|ttxtfxtuttxtx()nxtR()rutR为n维状态向量为r维控制向量2020年2月23日星期日现代控制理论24最优控制问题1.2问题描述(1)状态方程一般形式为00()((),(),)()|ttxtfxtuttxtx()nxtR()rutR)),(),((ttutxf为n维状态向量为r维控制向量为n维向量函数2020年2月23日星期日现代控制理论25最优控制问题1.2问题描述(1)状态方程一般形式为00()((),(),)()|ttxtfxtuttxtx()nxtR()rutR)),(),((ttutxf为n维状态向量为r维控制向量为n维向量函数给定控制规律)(tu2020年2月23日星期日现代控制理论26最优控制问题1.2问题描述(1)状态方程一般形式为00()((),(),)()|ttxtfxtuttxtx()nxtR()rutR)),(),((ttutxf为n维状态向量为r维控制向量为n维向量函数给定控制规律)(tu)),(),((ttutxf满足一定条件时，方程有唯一解最优控制问题(2)容许控制2020年2月23日星期日现代控制理论28最优控制问题(2)容许控制0)(uGU：2020年2月23日星期日现代控制理论29最优控制问题(2)容许控制0)(uGU：Uu2020年2月23日星期日现代控制理论30最优控制问题(2)容许控制0)(uGU：Uu有时控制域可为超方体2020年2月23日星期日现代控制理论31最优控制问题(2)容许控制0)(uGU：Uu()iiutm1,2,,ir有时控制域可为超方体最优控制问题(3)目标集2020年2月23日星期日现代控制理论33最优控制问题(3)目标集{()((),)0}SxTxTT2020年2月23日星期日现代控制理论34最优控制问题(3)目标集{()((),)0}SxTxTT((),)xTTn维向量函数2020年2月23日星期日现代控制理论35最优控制问题(3)目标集{()((),)0}SxTxTT()TxTx固定端问题((),)xTTn维向量函数2020年2月23日星期日现代控制理论36最优控制问题(3)目标集{()((),)0}SxTxTT()TxTxnSR固定端问题自由端问题((),)xTTn维向量函数最优控制问题(4)性能指标2020年2月23日星期日现代控制理论38最优控制问题(4)性能指标0(())((),)((),(),)dTtJuxTTLxtuttt2020年2月23日星期日现代控制理论39最优控制问题(4)性能指标0(())((),)((),(),)dTtJuxTTLxtuttt对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标2020年2月23日星期日现代控制理论40最优控制问题(4)性能指标0(())((),)((),(),)dTtJuxTTLxtuttt对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标0)),((TTx2020年2月23日星期日现代控制理论41最优控制问题(4)性能指标0(())((),)((),(),)dTtJuxTTLxtuttt对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标0)),((TTx积分型性能指标，表示对整个状态和控制过程的要求2020年2月23日星期日现代控制理论42最优控制问题(4)性能指标0(())((),)((),(),)dTtJuxTTLxtuttt对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标0)),((TTx0)),(),((ttutxL积分型性能指标，表示对整个状态和控制过程的要求2020年2月23日星期日现代控制理论43最优控制问题(4)性能指标0(())((),)((),(),)dTtJuxTTLxtuttt对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标0)),((TTx0)),(),((ttutxL积分型性能指标，表示对整个状态和控制过程的要求终点型指标，表示仅对终点状态的要求2.1泛函与变分法基础2.2欧拉方程2.3横截条件2.4含有多个未知函数泛函的极值2.5条件极值2.6最优控制问题的变分解法第2章求解最优控制的变分方法求解最优控制的变分方法2.1泛函与变分法基础平面上两点连线的长度问题2020年2月23日星期日现代控制理论46求解最优控制的变分方法2.1泛函与变分法基础平面上两点连线的长度问题1211()dSxtt2020年2月23日星期日现代控制理论47求解最优控制的变分方法2.1泛函与变分法基础平面上两点连线的长度问题1211()dSxtt一般来说，曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖于曲线，记为(())Sx2020年2月23日星期日现代控制理论48求解最优控制的变分方法2.1泛函与变分法基础平面上两点连线的长度问题1211()dSxtt一般来说，曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖于曲线，记为(())Sx(())Sx)(tx称为泛函称为泛函的宗量求解最优控制的变分方法泛函与函数的几何解释2020年2月23日星期日现代控制理论50求解最优控制的变分方法泛函与函数的几何解释2020年2月23日星期日现代控制理论51求解最优控制的变分方法泛函与函数的几何解释()()()xtxtxt宗量的变分2020年2月23日星期日现代控制理论52求解最优控制的变分方法泛函与函数的几何解释()()()xtxtxt宗量的变分泛函的增量(())(())(())(,)(,)JxJxxJxLxxrxx2020年2月23日星期日现代控制理论53求解最优控制的变分方法泛函与函数的几何解释()()()xtxtxt宗量的变分泛函的增量(())(())(())(,)(,)JxJxxJxLxxrxx泛函的变分(,)JLxx2020年2月23日星期日现代控制理论54求解最优控制的变分方法泛函与函数的几何解释连续泛函宗量的变分趋于无穷小时，泛函的变分也趋于无穷小线性泛函泛函对宗量是线性的()()()xtxtxt宗量的变分泛函的增量(())(())(())(,)(,)JxJxxJxLxxrxx泛函的变分(,)JLxx求解最优控制的变分方法定理2.2若泛函)(xJ有极值，则必有0J0][0xxJJ上述方法与结论对多个未知函数的泛数同样适用求解最优控制的变分方法2.6最优控制问题的变分解法2.6.4终值时间自由的问题2.6.3末端受限问题2.6.2固定端问题2.6.1自由端问题求解最优控制的变分方法2.6.1自由端问题约束方程0),,(xtux