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第三讲第三讲采样过程的数学描述及特性分析采样过程的数学描述及特性分析一一采样过程的一般概念采样过程的一般概念二二理想采样信号的时域描述理想采样信号的时域描述三三理想采样信号的频域特性理想采样信号的频域特性四四采样定理及其相关讨论采样定理及其相关讨论一一采样过程的一般概念采样过程的一般概念采样器采样器即采样开关采样时间采样时间pp采样开关每次合上的时间，即采样脉冲的宽度采样周期采样周期TT采样开关相邻两次闭合之间的间隔时间采样频率采样频率ffssfs＝1/T(Hz)采样角频率采样角频率ωωssωs＝2πfs＝2π/T（rad/s）理想采样过程理想采样过程当p相对于T很小时，近似认为采样是瞬时完成的，即认为p→0，这种采样过程称为理想采样过程。均匀采样均匀采样整个采样过程中采样周期不变非均匀采样非均匀采样采样过程中采样周期是变化的，可视为多种均匀采样的叠加。随机采样随机采样采样周期是随机变化的二二理想采样信号的时域描述理想采样信号的时域描述定义定义⎪⎩⎪⎨⎧=⎩⎨⎧≠==−∫∞∞−1)(01)(dttkTtkTtkTtδδOt1δ(t)∫∞∞−=)0()()(fdtttfδ性质⎩⎨⎧≠==−kTtkTtkTfkTttf0)()()(δ2.2.理想采样开关的数学描述理想采样开关的数学描述理想采样开关具有瞬时合上并断开的功能，只让采样时刻的输入信号通过，因此可用单位脉冲序列来描述...)2()()()()2(...)()(+−+−++++++=−=∑∞−∞=TtTttTtTtkTttkTδδδδδδδOt)(tTδ3.3.理想采样信号的时域描述理想采样信号的时域描述理想采样信号f*(t)是连续信号f(t)经过理想采样开关而获得的输出信号，即∑∞−∞=−==kTkTttfttftf)()()()()(*δδf(t)f*(t)TtδT(t)脉冲幅度调制器f(t)f*(t)tOf(t)tOf*(t)实际系统中，f(t)在t0时等于零，且f(t)只在脉冲发生时刻才在输出端有效，记为f(kT)，这样，理想采样信号的时域表达式可写为：∑∞=−=0*)()()(kkTtkTftfδ三三理想采样信号的频域特性理想采样信号的频域特性1.1.理想采样信号的频谱表达式理想采样信号的频谱表达式周期函数δT(t)展开为傅氏级数的复数形式，有其中∑∞−∞==ktjkkTseCtωδ)(TeTdtetTdtetTCttjkTTtjkTTtjkTksss1|1)(1)(102/2/2/2/=====−−−−−∫∫ωωωδδ∑∞−∞==ktjkTseTtωδ1)(即有理想采样信号可表示为对上式作傅氏变换其中F(jω）为被采样函数f(t)的傅氏变换，若令n=－k，上式可写成上式即为理想采样信号的频谱表达式)1)(()()()(*∑∞−∞===KtjkTseTtfttftfωδ∑∑∞−∞=∞−∞=−===KsKtjkjkjFTetfFTtfFjFs)(1])([1)]([)(**ωωωω∑∞−∞=+=nsjnjFTjF)(1)(*ωωω由采样信号的频谱表达式可知，理想采样信号的频谱F*(jω)与被采样信号的频谱F(jω)有十分密切的关系。2.2.理想采样信号的频域特性理想采样信号的频域特性ω)(ωjFO-ωmωmωOωs)(*ωjFωOωs)(*ωjFT1ωs2ωmωs＝2ωmωOωs)(*ωjFωs2ωmT1T1采样信号的幅频谱连续信号的幅频谱结论结论当n＝0时，F*(jω)＝F(jω)/T，称为采样信号的基本频谱，它正比与原连续信号的频谱，幅值为原频谱的1/T；当n≠0时，将派生出以ωs为周期的高频频谱分量，称为旁带旁带；若连续信号的频谱带宽有限，最高频率为ωm，而采样频率ωs≥2ωm，则采样后派生出的高频频谱和基本频谱不会重叠；反之，当频率ωs2ωm时，则各频谱之间就会出现混叠现象混叠现象。四四采样定理及其相关讨论采样定理及其相关讨论11频率混叠现象频率混叠现象采样信号的频谱包含基本频谱及派生的高频频谱分量，如果这些频谱分量是相互分离的，则可通过一个理想滤波器去掉所有的高频频谱，保留基本频谱，并放大T倍，即可获得与连续信号的频谱；ωOωs)(*ωjFT1ωs2ωm如果周期性频谱分量互相交叠，则采样信号的频谱与原连续信号的频谱发生很大的差别，以致无法从采样信号中获得原连续信号的频谱，这就是所谓频率混叠现象频率混叠现象；ωOωs)(*ωjFωs2ωm频率混叠现象发生在以下两种情况下：频率混叠现象发生在以下两种情况下：情况一：当连续信号的带宽有限，ωm为信号中的最高频率，如果采样频率ωs2ωm，则采样信号会产生频率混叠现象；ωOωs)(*ωjFωs/2上图中，ωωss/2/2是一个关键频率点，若连续信号的最高频率超过这个频率，则混叠现象必然发生，该频率称为折叠频率，也称为奈奎斯特（奈奎斯特（NgquestNgquest））频率频率，一般用ωN表示。情况二：情况二：若连续信号的频谱是无限带宽的，此时无论怎样提高采样频率，频率混叠现象或多或少都将发生。22采样定理采样定理————香农（香农（Shannon)Shannon)定理定理若连续信号是有限带宽有限带宽的，且它所含的频率分量的最大值为ωωmm，当采样频率ωωss≥≥22ωωmm原连续信号完全可以用其采样信号来表征，即采样信号可以不失真地恢复原连续信号。33假频现象假频现象当采样频率不满足采样定理时，采样信号就不可能无失真地反映原连续信号的特性，如果采样间隔内丢失的信息太多，采样的结果看起来就像一个低频信号，即产生假频现象假频现象；一般地，幅值相同、频率分别为ω和nωs－ω（或nωs＋ω）的低频信号与高频信号，以ωs采样后，所得的采样信号的幅值将是一样的，即ω是nωs－ω和nωs＋ω的假频假频。44前置滤波器前置滤波器如不满足采样定理，一个高频信号采样后将产生频率混叠频率混叠；若对应的是高频干扰信号，此时就无法滤除。在采样开关之前，加入一个低通滤波器低通滤波器（即前置滤波），以滤除包括高频干扰在内所有高于ωωss/2/2的高频分量，避免发生频率混叠现象。前置滤波器指的是在ωs/2处具有锐截止的低通滤波器低通滤波器，即一个理想的低通滤波器，但这在物理上是难以实现的。