数字图像处理-第7章-图像重建-北邮出版社-2008-10

1《数字图像处理与图像通信》朱秀昌刘峰胡栋北京邮电大学出版社2第7章图像重建7.17.27.37.4卷积逆投影重建7.57.67.73图像重建：由一系列沿直线投影图来重建二维图像，由一系列二维图像重建三维物体。成像方式：透射断层成像发射断层成像反射断层成像射线种类：X射线成像、核磁共振成像、正电子发射成像、超声成像、微波成像、激光共焦成像、……4射线投影成像的基本原理：人体组织对X射线吸收和散射，造成衰减，人体内的不同结构，比如脂肪、胰、骨骼对X射线吸收能力有所不同。入射线图7.1组织对射线的吸收散射线散射线5投射断层成像：射线穿过物体，在检测器上得到的遭受衰减的值＝＝射线的投影，根据投影可以了解物体对射线的吸收程度。发射断层成像：发射源在物体内部，将具有放射性的离子（放射元素）注入物体内部，在物体外部检测其经过物体吸收之后放射量。反射断层成像：将入射信号（通常是单色平面波）入射到物体上，通过检测经物体散射（反射）后的信号强度来重建。6透射投影成像，图7.2表示等强度的射线透过不同密度分布时的情况，每块上的数字表示每块的密度或衰减，总的衰减是叠加的，一条射线束通过均匀密度物质的厚块，另一射线通过不等密度的厚块组合，但检测器的记录相同，因此，投影重建时需要一系列投影才能重建二维图像。入射线6222入射线6141入射线少透射高密度体多透射入射线低密度体图7.2等强度射线穿透不同组织的情况7发射投影成像如，正电子发射成像（PET：PositronEmissionTomography）采用在衰减时放出正电子的放射性离子，放出的正电子很快与负电子相撞湮灭而产生一对相背运动的光子。相对放置的两个检测器接收到这两个光子就可以确定一条射线，检测器围绕物体呈环形分布，相对的两个检测器构成一组检测器对，检测由一对正负电子产生的光子。正电子负电子光子光子PET成像系统示意图检测器检测器87.1计算机断层扫描技术计算机断层扫描技术又称为计算机层析或CT（ComputedTomography)利用数字图像处理技术来获取三维图像。CT机通常包括X射线管、X射线检测器、扫描机架、病人床、用来重建图像结构的工作站。图7.4CT扫描成像的示意图9医学影像领域：ComputedTomography(CT)：获1979年诺贝尔奖（NobelPrice）布尔赫、珀塞尔，获1952年诺贝尔奖，发现了核磁共振现象劳特布尔（美）、P·曼斯菲尔德（英）获2003年年诺贝尔奖，核磁共振的研究（英）G.N.Hounsfield（美）AllanM.Cormack10CT实例：扫描系统的X射线源和检测器，始终保持严格的相对静止；射线管发出的是直线形波束，扫描机构围绕人体作旋转加平移运动；以检测器的位置为自变量，就构成如图7.5(b)的电流—位置函数曲线。图7.5CT一次平移扫描所获得的输出信号11第一次直线平移扫描完毕后，扫描系统旋转一个小角度，再作第二次直线式平移扫描，获得另一组投影数据；重复以上过程，便得到很多组投影数据；对这些数据进行处理形成三维图像。图7.6头颅CT扫描成像示意图127.2投影定理一个N维函数在第N-1维上的映射称为函数f在第N-1维的投影。二维：函数f(x,y)在x轴上（沿y方向）的投影函数f(x,y)在y轴上（沿x方向）的投影设f(x,y)的傅立叶变换为F(u,v)，可得：123(,,,,)Nfxxxx()(,)(,)ylgxfxydyfxydy（7.1）（7.2）()(,)(,)xlgxfxydxfxydx(,),exp2fxyFuvjuxvydudv（7.3）13把式（7.3）代入到式（7.1）可得：可知gy(x,y)是F(u,0)的傅氏反变换，或gy(x,)的傅氏变换G(u)与F(u,0)相同。结论，函数f(x,y)在x轴上投影gy(x,y)的傅立叶变换等于f(x,y)的傅立叶变换F(u,v)在(u,v)平面上沿u轴平面上的切片F(u,0)。,exp2,exp2exp2,exp2,exp2,0exp2ygxFuvjuxvydudvdyFuvjuxdudvjvydyFuvjuxvdudvFuvvdvjuxduFujuxdu（7.4）14沿y轴的投影图示沿y轴的的投影示意图f(x,y)(a)二维函数f(x,y)在x轴上投影yxgy(x)(b)f(x,y)傅立叶变换F(u,v)在u轴上切片F(u,v)vuF(u,0)15假设函数f(x,y)投影到一条经过旋转的直线上t1，t是一条与t1平行经过原点的直线，与t垂直经过原点的直线为s，该直线s与x轴的夹角为θ，直线t1离开原点的距离为s1，如图7.9所示。以s和t可用θ为极坐标：函数f(x,y)沿着t1方向s投影为：图7.9坐标旋转关系1(,)(,)ttgsfxydt(7.6)cossinsincossxytxy16将投影式(7.6)只对s1作一维傅立叶变换，将指数项作变换，得111111122,(,)exp(2)[(,)]sxp(2)(,)exp[2(cossin)](cossin)(,)exp[2(cossin)](cos,siGrgsjrsdsfxydtjrsdsssxyfxyjrxRydxdyttxyfxyjxryrdxdyFrrn)1(,)exp[2()](,)sxp[2()](,)fxyjrxuyvdxdyfxyjrxuyvdxdyFuvcos,ursinvruv(u,v)θ0r（7.8）（7.9）(,)(cos,sin)(,)GrFrrFuv17投影定理（切片定理）：f(x,y)在一条与x轴夹角为θ，离开原点距离为r的直线上的投影的傅立叶变换＝＝二维傅立叶变换在与u轴成θ方向上的切片三维图像重建基础：若投影变换G(r,θ)中对所有的r和θ值都已知，则图像的二维傅立叶变换也可以完全确定，进行二维傅立叶反变换，就可以得到f(x,y)。图7.10投影定理示意图f(x,y)yxθvuF(u,v)F(r,θ)tsθ18三维投影定理：令f(x,y,z)表示一个三维物体，它的三维傅立叶变换为•如ω=0其中gz(x,y)正是f(x,y,z)在(x,y)平面上的投影，即表明f(x,y,z)在(x,y)平面上投影的傅立叶变换＝＝f(x,y,z)的三维傅立叶变换F(u,v,ω)在ω=0平面上的切面F(u,v,0)。与(x,y)平面成夹角为θ的平面上投影的傅立叶变换＝＝三维傅立叶变换F(u,v,ω)在与(u,v)平面成θ角的切面F(u,v,θ)。(,)(,,)zgxyfxyzdz,,,,exp2Fuvfxyzjuxvyzdxdydz,,0,,exp2,exp2zFuvfxyzdzjuxvydxdygxyjuxvydxdy（7.13）（7.12）（7.11）197.3傅立叶投影重建傅立叶投影重建的基础：傅立叶投影定理。根据投影定理，就可以得到F(u,v)分别在相应角度位置上的切片；当切片趋向无穷多，就可获得在(u,v)平面上的所有F(u,v)值；由F(u,v)进行傅立叶反变换就可以重建图像f(x,y)。将f(x,y)沿s方向的投影表达式及其一维傅立叶变换式改写为：令u=Rcosθ,v=Rsinθ，根据投影定理，用极坐标(R,θ)来表示:结论：如果知道所有R和θ的投影变换值G(R,θ)，则变换域的二维函数将全部确定，取傅立叶反变换就可以得到图像函数。,,sgfxyds,,exp2GRgjRd（7.13）（7.14）200,,exp2cossinfxyGRjRxyRdRd（7.15）20利用傅立叶变换的共轭对称性，•积分限由0～2π换成0～π，R→|R|，•积分限由0～∞换成－∞～＋∞，上式：记傅立叶投影重建图像为：0(,)(,)exp[2(cossin)]fxyRGRjRxydRd(,,)(,)exp[2(cossin)]fxyRGRjRxydR0(,)(,,)fxyfxyd（7.18）（7.17）（7.16）21以上是理想的情况－－可以获得无穷多个投影，对连续图像的傅立叶重建。如果只有有限个角度的投影g(ρ,θn)，θn表示nθ，G(R,θ)可用在一系列采样点(m△s，θn)上对g(•)求和得到，△s为沿着射线方向采样点的间距，采样点数为M，式(7.14)可写成：令R=k△R，k为整数，△R为频率域上采样间距，采样点数为M，取则有根据极坐标上点(k△R,n△θ)的值G(k△R,θn)插值出在直角坐标上点(k△u,n△v)的值F(k△u,n△v)，从而反傅立叶变换得到f(k△x,n△y)。,,exp2nnmGRsgmsjRms1RMs,,exp2nnmkmGkRsgmsjM（7.20）（7.19）22注意：必须得到所有投影数据后再能重建图像，不能根据所获得的部分投影数据重建图像，重建图像需要进行傅立叶反变换。(1)对N个不同θ方向上投影进行一维傅立叶变换。(2)在傅立叶变换空间从极坐标向直角坐标插值。(3)利用式(7.17)或离散形式的傅立叶频谱进行反变换得到重建图像。图7.11傅立叶空间的直角和极坐标网格237.4卷积逆投影重建卷积逆投影重建法：以投影切片定理为基础；傅立叶变换重建法：计算量比较小，但要二维插值，在射电天文学研究中得到应用广泛；卷积逆投影法：能快速实现，噪声较小时可重建出准确清晰的图像，在X射线CT成像中应用广泛。24在计算投影的一维傅立叶变换F(R,θ)时，R为频域极轴变量。投影数据g(ρ,θ)总是被有限截断。当ρ的取样间隔为d时，在频率R的变化范围将是-d/2～d/2，投影切片定理可近似成:记因为，上式又可写成12102,,exp2cossinddfxyRFRjRxydRd（7.21）1212()exp(2)ddhRjRdRcossinxy1212cossinexp2cossinddhxyRjRxydR（7.22）（7.23）25由(7.17)可知：卷积逆投影法重建图像为：由式（7.24）可知，右边正是投影数据g(ρ,θ)与脉冲响应h(ρ)所表示的滤波器的卷积，h(·)为卷积函数。求f’(x,y,θ)则是在θ角方向上卷积了的投影，因此从式（7.22）求f(x,y)可被认为是求逆投影过程，即卷积逆投影重建法。0(,)(,,)fxyfxyd121212121212,;,exp2cossin,exp2exp2cossin,exp2cossin,cossinddddddfxyRFRjRxydRRgjRdjRxydRgRjRxydRdghxyd