专题-勾股定理与特殊角

专题勾股定理与特殊角方法归纳：解决非直角三角形的求值问题时，一般要做垂线构造含特殊角的直角三角形来处理。一、直接运用300或450的直角三角形1、如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，若AC=3，求AD的长.2、如图，△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，∠A=30°，CD=2，求AB的长.3、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=60°，∠C=45°，AC=2，求BD的长二、作垂线构造300或450的直角三角形（一）将1050转化为450和6004、如图，在△ABC中，∠B=45°，∠A=105°，AC=2，求BC的长.（二）将750转化为450和3005、如图，在△ABC中，∠ACB=75°，∠B=60°，BC=23，求S△ABC6、如图，在△ABC中，∠B=45°，∠BAC=75°，AB=6，求BC的长.专题运用勾股定理列方程方法归纳：运用勾股定理列方程是数形结合思想的体现一、直接用勾股定理列方程1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交CB于D，CD=3，BD=5，求AD的长.2、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠CAD=2∠BAD,若BD=3，CD=8，求AB的长.二、巧用“连环勾”列方程3、如图，在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=42，求S△ABC.4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=3，BC=4，求AD的长.5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=1，BD=4，求AC的长6、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=3，BD=4，求AD的长专题勾股定理与折叠问题方法归纳：抠住折叠前后的对应线段、对应角相等，将有关线段转化到直角三角形中用勾股定理来解决。一、折叠三角形1、如图，在△ABC中，∠A=90°，点D为AB上一点，沿CD折叠△ABC，点A恰好落在BC边上的A′处，AB=4，AC=3，求BD的长.二、折叠长方形2、如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，F为CD上一点，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC上的点E处，求CF的长3、如图，长方形ABCD中，AD=8cm，AB=4cm，沿EF折叠，使点D与点B重合，点C与C'重合.（1）求DE的长（2）求折痕EF的长.4、如图，长方形ABCD中，AB=6，AD=8，沿BD折叠使A到A′处DA′交BC于F点.（1）求证：FB=FD（2）求证：CA′∥BD（3）求△DBF的面积三、折叠正方形5、如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G,G为BC的中点，连结AG、CF.（1）求证：AG∥CF（2）求DECE的值.专题勾股定理与分类讨论方法归纳：在涉及到等腰三角形、直角三角形及三角形面积、高等问题时往往需要分类讨论一、锐角和钝角不明时需分类讨论1、在△ABC中，AB=AC=5，S△ABC.=7.5，求BC的长2、在△ABC中，AB=15，AC=13，AD为△ABC的高，且AD=12，求BC二、腰和底不明时需分类讨论3、如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为射线AC上一点，且△ABD是等腰三角形，求△ABD的周长.三、直角边和斜边不明时需分类讨论4、已知直角三角形两边分别为2和3，则第三边的长为_____________5、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB为边向外作等腰直角三角形ABD，求CD的长专题利用勾股定理逆定理证垂直方法归纳：证垂直的方法较多，用勾股定理的逆定理证垂直可实现由数向形的转化1、如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，且AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，其求CD的长.2、如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，BC=5，CD=5，AD=4，求四边形ABCDS3、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AB=5,AC=13,AD=6，求BC的长.4、已知△ABC中，CA=CB,∠ACB=α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连AD．（1）如图1，当α=60°，PA=10，PB=6，PC=8时，求∠BPC的度数（2）如图2，当α=90°，PA=3，PB=1，PC=2时，求∠BPC的度数专题a2b问题的证明方法归纳：将a，b转化成某等腰三角形的斜边与直角边是解此类问题的关键。一、直接以a，b为边构造等腰直角三角形1、如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，M、N分别为AC、BD的中点，连MN、ON.求证：MN=2ON.2、已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，AE=CF，连DE、EF.（1）如图1，若E、F分别在AB、AC上，求证：EF=2DE（2）如图2，若E、F分别在BA、AC的延长线上，则(1)中的结论是否仍成立？请说明理由．二、利用等线段代换构造等腰直角三角形3、如图，△ABD中，O为AB的中点，C为DO延长线上一点，∠ACO=135°，∠ODB=45°探究OD、OC、AC之间相等的数量关系．4、如图，△ABD是等腰直角△，∠BAD=90°，BC∥AD，BC=2AB，CE平分∠BCD，交AB于E，交BD于H．求证：（1）DC=2DA；（2）BE=2DH专题ab2或3cc问题的证明方法归纳：将ab2c转化为a2b的问题，再转化到300或450的等腰直角三角形中去解决此类问题。1、如图1，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为AB的中点，M、N分别为AC、BC上一点，且DM⊥DN.（1）求证：CM+CN=BD（2）如图2，若M、N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系式2、已知∠BCD=α，∠BAD=β，CB=CD.（1）如图1，若α=β=90°，求证：AB+AD=AC（2）如图2，若α=β=90°，求证：AB-AD=AC（3）如图3，若α=120°，β=60°，求证：AB=AD=AC（4）如图3，若α=β=120°，求证：AB-AD=AC专题勾股定理综合（一）纯几何问题方法归纳：将研究的线段转化到一个直角三角形中去，是解决与勾股定理有关的综合题的关键。1、已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，∠EDF=90°，DE交射线AC于E，DF交射线CB于F．（1）如图1，当AC=BC时，EF2、AE2、BF2之间的数量关系为__________（直接写出结果）；（2）如图2，当AC≠BC时，试确定EF2、AE2、BF2之间的数量关系，并加以证明；（3）如图3，当AC≠BC时，(2)中结论是否仍成立？2、已知△OMN为等腰直角△，∠MON=90°，点B为NM延长线上一点，OC⊥OB，且OC=OB.（1）如图1，连CN，求证：CN=BM;（2）如图2，作∠BOC的平分线交MN于A，求证：AN2+BM2=AB2（3）如图3，在(2)的条件下，过A作AE⊥ON于E，过B作BF⊥OM于F，EA、BF的延长线交于P，请探究AE2、BF2、AP2之间的数量关系式．专题勾股定理综合（二）与代数有关结合方法归纳：在坐标系中研究勾股定理的应用，充分体现数形结合的思想。1、已知点A的坐标为（1，-3），∠OAB=90°，OA=OB.（1）如图1，求点B的坐标；（2）如图2，AD⊥y轴于D，M为OB的中点，求DM的长；2、已知点A、B分别在x轴、y轴上，OA=OB，点C为AB的中点，AB=12.（1）如图1，求点C的坐标（2）如图2，E、F分别为OA上的动点，且∠ECF=45°，求证：EF2=OE2+AF2（3）在图2中，若点E的坐标为(3，0)，求CF的长