7章旋翼桨叶气弹稳定性

第七章旋翼气弹稳定性分析旋翼气弹运动方程已在前章推导出，为理解基本问题，限定少数几个自由度上，只考虑桨叶的基本运动，更复杂的分析借助计算机程序进行数值计算：桨叶的挥舞运动几乎在直升机特性的每一个方面都起着主导作用7.1旋翼桨叶挥舞气弹动力学对于旋翼轴固定，可以考虑单片独立的桨叶，在考虑整个旋翼的运动时，由于每片桨叶有一个自由度，故共有N个自由度。第七章旋翼气弹稳定性分析7.1旋翼桨叶挥舞气弹动力学7.1.1旋转坐标系旋翼桨叶的基本挥舞模态运动方程已在第二章中导出：102*)(FZMdracFI空气动力挥舞力矩为：)()(GpFwMMMKMM第七章旋翼气弹稳定性分析空气动力系数如何确定？22sin4sin381M)sin461(M)sin681(M)sin461(cosM挥舞运动方程就是：)()(2**GPwMMMMKIMI第七章旋翼气弹稳定性分析7.1.1.1悬停状态的特征根齐次方程就是：0)(2**MKIMIP特征方程为：0)(2*2*MKIsMsIP22)16(816PKis特征根：在悬停情况0，气流是轴对称的，因此空气动力系数为常数第七章旋翼气弹稳定性分析其频率、自然频率与阻尼比入下：22)16(8ImPKsePnKs82ess16/Re第七章旋翼气弹稳定性分析前飞时挥舞运动的齐次方程为：0)(2**MMKIMIP空气动力系数为：)sin681(M)sin461(cosM22sin4sin381M7.1.1.2前飞状态的特征根第七章旋翼气弹稳定性分析22)16(816PKis在上一节中，得出了悬停时的解前飞时由于桨叶相对于直升机前飞速度的旋转就引进了周期系数，这些周期系数从根本上影响了根轨迹特性以及所需要的分析方法。第七章旋翼气弹稳定性分析在许多论著中都研究了前飞时旋翼挥舞运动的稳定性，在小情况下能得到特征根的解析解，但在中等和大情况下则需用数值计算求解。第七章旋翼气弹稳定性分析由于常微分方程的分析非常简便且应用十分广泛，所以前飞时旋翼动力学模型最好是不随时间变化的系统，这种模型必定是近似的，这是因为周期系数有独特的特性，然而对某些应用来说，这种近似是可以满足要求的。M2如果在旋转坐标系中使用系数的平均值，则前飞对挥舞力矩的影响只是在上有量级的变化。如果没有变距－挥舞耦合，那么前飞对特征值完全没有影响，如果不是很小，这种方法就不是满意的近似方法。第七章旋翼气弹稳定性分析在这里常系数近似确实可以作为特征根正确特性的模型，一般来说，周期系统特征根的性质特性只是在实轴上有两实根或四个复根（在正频率上有两个，在负频率上有两个）的情况下，可用不随时间变化系统的特征根来近似，因此，可以预计到，在必须计及旋翼高频动力学时，常系数近似很少会是满意的，桨叶片数的增加，通过在不转坐标系中模型耦合自由度数的增加会改善此种近似。第七章旋翼气弹稳定性分析总之，前飞时旋翼动力学的常系数近似所得出的微分方程可以更方便更充分地分析，但是它不在描述真实的旋翼了，从不随时间变化的模型所得结果充其量也不过总是一个近似而已，然而，在不转坐标系中的常系数近似往往给出非常接近于准确解的结果，特别是对于包含低频模态的特性，只要前进比不太大。常系数近似的合理性总是应该通过所考虑特定问题的精确解与近似解之间的比较来较核。第七章旋翼气弹稳定性分析作业（练习）：1、借助于Mathematica软件，计算并绘制中文版P364页图12－2、图12－3样例。2、分别用周期系数法和常系数近似法计算并绘制P365页图12－4样例。第七章旋翼气弹稳定性分析补充：Q2)()Im()Re(kkikkkeiB设一个周期上的Floquet状态转移矩阵的第k个特征值为，则，决定系统稳定性的矩阵的特征值为第七章旋翼气弹稳定性分析补充：2,1,0;)Re()Im(arctan21))(Im())(Re(ln2122nnkkkkkkkk其中，分别为系统第k阶模态的衰减率和频率。要确定n的值，一种方法是采用常系数近似法，该法可以确定精度相对较好的模态频率。第七章旋翼气弹稳定性分析补充：i)(iA2CNiiCCCANdAA120)(1)(21常系数近似法假设在一个方位角步长内，系统的系数矩阵为常数，即这样，系统的系数矩阵沿方位角在一个周期内的平均值、即常系数矩阵可表示为，求该矩阵的特征值就可得到系统的模态阻尼和频率。常系数近似法:第七章旋翼气弹稳定性分析7.1.1.3悬停传递函数悬停时，旋转坐标系中的挥舞运动方程为：GPWMMMKIMI21)(2悬停时挥舞运动的传递函数就是：)(212*2*esIMsIwMMG桨叶挥舞运动对变距和突风输入的响应可用传递函数来确定，我们只考虑悬停情况，因为前飞时的周期系数要引起谐量间的耦合，第七章旋翼气弹稳定性分析sLaplace*22/IMKPe式中为变量，极点（分母多项式）就是悬停特征值，并且在这种情况下无零点，用系数代入可得：228128esswG第七章旋翼气弹稳定性分析由is即得到频率响应：iweG812822第七章旋翼气弹稳定性分析7.1.2不旋转坐标系hGhPzSwzMMMKIMI*002*00*)()(同锥模态：不转坐标系的挥舞运动方程利用旋转方程的Fourier坐标变换求得。这里只考虑悬停情况下三片或三片以上桨叶的情况，因此方程为常系数方程，第七章旋翼气弹稳定性分析7.1.2不旋转坐标系scscMIIMI11**11*22scPPMKIMMMKI112*2*)1()1(XYGhGhscIuxvyMM*11xyMIIM**22桨尖平面倾斜模态第七章旋翼气弹稳定性分析7.1.2不旋转坐标系nsncnsncMnInIMI***22asacPPMKnIMnMnMKnI)()(22*22*nsncM无反力模态2/2/2*2/2/*)(NNPNNMMKIMI第七章旋翼气弹稳定性分析只有同锥自由度和桨尖平面倾斜自由度对旋翼轴运动和突风有响应，因此，这三个自由度是最重要的。1和跷板模态0在旋翼轴固定的情况，这些方程也应用在悬停的两片桨叶旋翼上，这时，自由度就是同锥模态第七章旋翼气弹稳定性分析7.1.2.1悬停状态的特征根与模态齐次方程给出如下不转坐标系的挥舞运动特征方程：0)(02*2*MKIsMsIP0)()2()2()(22*2***22*2*nsncPPMKnIsMsIMsInMsInMKnIsMsI0)(22*2*NPMKIsMsI第七章旋翼气弹稳定性分析不转特征值NRS等于旋转特征值：22)2(2IMIMKiIMSSPRNRncns对于和自由度来说，矩阵的行列式给出：0)2())((2*2222*2*MsInMKnIsMsIP它有解inSSRNR第七章旋翼气弹稳定性分析相应的特征矢量（由特征方程代替分子）为：iMsInMKnIsMsIPnsnc)2()(*22*2*第七章旋翼气弹稳定性分析7.1.2.2悬停传递函数悬停时旋翼的同锥模态0运动方程给出下面的传递函数：)()21(212200esIMsIzMsSWMMhG同锥度响应接近于ISzh0第七章旋翼气弹稳定性分析桨尖平面倾斜对周期变距的响应由传递函数确定：scscPPMMKIsMsIMsIMsIMKIsMsI111122**22)1(22)1(矩阵反演给出scscMsIMsIMsIMsIsIMsIee1122**2211)1(22)1(1式中：222222)2()1(IMsIsIMsIe第七章旋翼气弹稳定性分析引进下列参数PPKMMKMIMINe81)1()1(222传递函数可写成2222112211)()12(12)(12NssMIsMIMMsMINssMINssMIsMIcssc－第七章旋翼气弹稳定性分析静态响应(s=0)为csscMMNNN112111111－对铰接式旋翼来说,这就简化为:cssc1111代入这些系数之后，桨尖平面倾斜对周期变距的直接响应与交叉响应传递函数如下：2*221111)8()116(116Nsssscssc第七章旋翼气弹稳定性分析2*22*21111)8()116(8NsssNsssscc直接响应的传递函数有一孤立零点在162*IMs它们是下列二次式的解：0*2*NssMI0*2*NssMI也就是2*2*)2(12IMIMse2)(Im1ReRRss第七章旋翼气弹稳定性分析7.2旋翼桨叶颤振颤振对旋翼来说，是指桨叶的变距－挥舞的不稳定运动。本节研究的主题是桨叶的变距－挥舞稳定性。旋翼的旋转引进了一些特殊的因素，这使直升机桨叶颤振比起飞机机翼颤振现象来说有很大的不同。如果重心不在变距轴上，离心力就要使挥舞运动和变距运动耦合起来，此外，回转脱落涡对桨叶的空气动力有着重要的影响，这是由前飞时桨叶的周期空气动力环境所致。第七章旋翼气弹稳定性分析7.2.1变距－挥舞方程旋翼桨叶的刚体挥舞与刚体变距运动微分方程如下：FZxMdracFrII10*2*)()(FafPxfMdracMIKII