4章旋翼弹性桨叶动力学I1

硕士学位研究生专业课程直升机旋翼动力学第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)教学目的桨叶本质上是弹性的，推导适用于铰接式、无铰式旋翼的弹性桨叶运动方程，除了挥舞，摆振，变距运动三个刚体自由度，还存在无限多弹性自由度，同时，各自由度间存在多种耦合：如：气动耦合，惯性耦合，几何耦合，结构耦合等了解弹性变形下，各自由度耦合关系对动力学特性的影响本章旋翼弹性桨叶动力学中，桨叶作为弹性，仅考虑桨叶弯曲扭转最简单的情况并给出频率表达式第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.1旋翼挥舞平面内的弯曲先回顾我们前章已推导的刚体桨叶挥舞运动方程：12()ZeFIdrac下面推导弹性桨叶的挥舞运动微分方程考虑一旋翼桨叶在挥舞平面内的弯曲，桨叶根部约束为任意情况即：无论铰接式，还是无铰式简单直观，使用方便希望弹性挥舞运动方程也这样简单直观结果我们会发现：有许多相似之处，但又有不同第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.1旋翼挥舞平面内的弯曲（一）积分形式的牛顿法如图所示，考虑半径为r处外段上各力及力矩平衡取外段处一微段d建立对r处的力矩平衡方程：（1）（2）（3）惯性力：力臂：离心力：力臂：气动力：力臂：其受力方向如图所示大小为()mZd)(rdm2)()(rZZZF)(r则各力对r剖面的力矩：第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.1旋翼挥舞平面内的弯曲（一）积分形式的牛顿法引入：)(rMRr[))((rZmFZ))]()((2rZZmd由工程梁理论，22)(rZEIrM22rZzZEIrM)(ZEI代入上式，drZZmRr))()((2RrdrZm)(RrZdrF)(建立结构弯矩与桨叶弯曲曲率之间的关系：力矩平衡方程整理得：第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.1旋翼挥舞平面内的弯曲（一）积分形式的牛顿法方程两边对r求两次导数，'(())(|)RRZzrzrFdFrF)(ZEI])[(2rZdmRrZm))((RrZdF其中)(ZEI])([2dmZRrZmZF整理则给出挥舞弯曲的偏微分方程：第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.1旋翼挥舞平面内的弯曲（二）微分形式的牛顿法如图所示，考虑半径为r处的微段，其上各力及力矩平衡r处剖面r+dr处剖面SdrrSSdrrTTMdrrMMT(离心力引起）剪力拉力弯矩第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.1旋翼挥舞平面内的弯曲（二）微分形式的牛顿法由微段的力平衡条件（z向）：drFZdrrSSZmdrSSrSZFSZ由微段各力对r＋dr处剖面的力矩平衡条件：MdrrMM02drdrFZSdrdrrT)(2drZmdr①第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.1旋翼挥舞平面内的弯曲（二）微分形式的牛顿法略去高阶项,且ZrZr)(MrMZTSMMZTS)(ZmMZTFZ)(②②由代入①得：又由工程梁理论，ZEIM代入上式，ZFZTZEIZm)()(结构弯矩与弯曲曲率关系：整理得：第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.1旋翼挥舞平面内的弯曲（二）微分形式的牛顿法其中，RrdmT2ZRrFdmZZEIZm)()(22可见，与积分形式的牛顿法的结果一致以上推导的挥舞运动方程是偏微分方程，其中Ｚ是展向r和时间t的函数。通过分离变量法，可将偏微分方程转化为常微分方程r处离心力为：求解？：第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.1旋翼挥舞平面内的弯曲),(trZ展成用模态形状表示的级数形式为此，当模态形状选择使得桨叶强迫振动响应可由前几阶模态就能很好得描述时，则旋翼动力学问题就可通过最少自由度来解。此所谓模态截断，或模态叠加法。假设Z表示成模态形状的级数：第k阶模态形状第k阶模态坐标，或广义坐标1)()(),(kkktqrtrZ()kr()kqt将Z代入前面表达式，则有：将第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.1旋翼挥舞平面内的弯曲ZkkkRrkkkkFqdmEIqm])()[(22()kkkkZkmqqF22()()RkkkkxEImdm令则上式写成：第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.1旋翼挥舞平面内的弯曲方程两边应用如下算子：利用模态形状的正交性Ridr0(....)Rkikikidr001则挥舞弯曲方程为：RkqdrmIk02定义：为第k阶模态的广义质量RZkkkkqdrFqqIk02)(第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.1旋翼挥舞平面内的弯曲类似于刚性桨叶的处理方法，120()kZqkkkkFIqqdxac式中，第k阶挥舞桨叶弯曲模态频率为：方程形式上与刚性桨叶挥舞方程很相似，但含义不同。RkRkrkkkmdreKdrdmEI02022222)]([][无量纲化后，第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.1旋翼挥舞平面内的弯曲注：前的数，kq而是要经过二次分步积分得到用分部积分化简：kRkidxEI0kRkiEId0kRkiEI0RkidxEI0kRkiRkiEIEI00RkidxEI0上式分子中的项并不直接等于方程中的第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.1旋翼挥舞平面内的弯曲kRkikiEIEI0kRkidxEI0利用模态（振型）边界条件边界条件：0)(0)(ee0)(0)(RR0)0(0)0(0)(0)(RR边界条件：无铰式铰接式无论铰接式还是无铰式，都为零进一步：回顾：第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.1旋翼挥舞平面内的弯曲同理：kRiRrkdrdm02kRRrkidm02kRikRrdrdm02利用模态（振型）边界条件无论铰接式还是无铰式，都为零ZkkkRrkkkkFqdmEIqm])()[(2中的项：挥舞方程应用算子Ridr0(....)也用分部积分处理：第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.1旋翼挥舞平面内的弯曲120()kZqkkkkFIqqdxac讨论：这是旋翼弹性桨叶第k阶挥舞平面弯曲运动微分方程，旋转桨叶自由振动模态的使用用自然频率k代替结构项和离心力项且由于模态正交性第k阶微分方程与其他弯曲模态方程不耦合方程：使用方便形式上与刚体桨叶挥舞方程相似第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.1旋翼挥舞平面内的弯曲因此，可以看出对弯曲频率的贡献有两部分：一部分是结构弹性项，即弯曲刚度，另一部分是惯性项，即离心力刚度。RkRkrkkkmdreKdrdmEI02022222)]([][问题：答案：离心力位能EI但这种影响在高阶频率时有所不同，对高阶频率影响比对低阶频率影响大弹性刚度比重增加，k大弹性能的增加。高阶模态时频率：对于挥舞运动频率，哪部分刚度影响大，为什么？离心力刚度影响大，即改变第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.1旋翼挥舞平面内的弯曲弹性桨叶的频率方程可退化到刚体桨叶挥舞频率方程：令eer122121122)1()1(1eIKmdrdrdmeeer代入频率方程中：221212)1(11eIKmdrmdreeee与刚体挥舞频率一样第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.2旋翼旋转平面内（摆振）弯曲在这里考虑纯旋转面（摆振面）弯曲运动。与前类似，同时，暂时忽略哥氏力的影响。包含桨叶弯曲和任意桨根约束即：无论铰接式，还是无铰式如图所示，考虑建立微段对r处的力矩平衡方程：（1）（2）（3）惯性力：力臂：离心力：力臂：?关键气动力：力臂：微段受力如图大小及力臂为：则各力对r剖面的力矩：ddym)(rdm2)()(ryyryFr采用积分形式的牛顿法，列写运动方程处微段仅考虑纯弯，无结构耦合实际是有的第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.2旋翼旋转平面内（摆振）弯曲RryZrymFrM))([()(rym)((2dry))](22)(ryEIrMZZ同理由工程梁弯曲理论：代入上式，并方程两边对r求二次偏导数，得旋转桨叶摆振弯曲运动方程：)(yEIZ])[(2ydmRrmy2ymyFyRrZFmydmyyEIym22)()(与挥舞弯曲方程不同之处第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.2旋翼旋转平面内（摆振）弯曲假设y表示成模态形状的级数：第k阶模态形状第k阶模态坐标，1)()(),(kykyktqrtry将y代入摆振偏微分方程，则有：以上推导的旋转面（摆振）运动方程是偏微分方程，其中y是展向r和时间t的函数。同样通过分离变量法，可将偏微分方程转化为常微分方程)(ryk)(tqyk求解？：或广义坐标第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.2旋翼旋转平面内（摆振）弯曲yykykRrykykZykykFqmdmEIqm])()[(22方程两边应用如下算子：利用模态形状的正交性Ridr0(....)Rkikikidr001类似于挥舞运动方程的处理方法，bRykkIdrI/02上式依然成立引入第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.2旋翼旋转平面内（摆振）弯曲102)(dracFqqIyykykykykk无量纲化后，则摆振弯曲方程为：其摆振弯曲运动频率：RykRRrykykykZykykmdrdrmdmEIeK0202222222][))((与挥舞弯曲频率表达式不同之处第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.2旋翼旋转平面内（摆振）弯曲由上式看出，如果挥舞与摆振质量分布、刚度分布相同在形式上就相当于：221但实际上，摆振方向弯曲刚度EIxx远大于挥舞方向弯曲刚度一般20～40倍此外，因此，上式只有在挥舞铰与摆振铰重合时，才成立即严格说：摆振弯曲和挥舞弯曲模态也不相同第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.3旋转平面与挥舞平面弯曲刚体挥舞与刚体摆振的推广考虑弹性影响及运动耦合其关键是哥氏力，但有新的内容首先对于:挥舞运动现在我们来推导旋转平面弯曲和挥舞平面弯曲的运动方程：不考虑结构耦合因此，z仍表示纯挥舞平面位移，y仍表示纯旋转平面位移摆振运动ymdy2)()(rZZ沿半径向外的哥氏力力臂:？注：此处y的正方向为向前，而非摆振正向（如前定义），即y=-x（书中的x），同样,Fy=-Fx如图所示第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)4.3旋转平面与挥舞平面弯曲则挥舞弯矩改写为：RrZydrZZmymrZmFrM))]()()(2())([()(2同前述方法，得偏微分方程：ZRrRryFZmdyZmZdmZEI])2[(])[()(2])2[(ZmdyRr多出的项，如何处理？第四章旋翼弹性桨叶动力学(I)dr