圆锥曲线公式大全

圆锥曲线知识考点一、直线与方程1、倾斜角与斜率：1212180＜α≤0(tanxxyyk）2、直线方程：⑴点斜式：直线l经过点),(000yxP，且斜率为k：00xxkyy⑵斜截式：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为),0(b：bkxy⑶两点式：已知两点),(),,(222211yxPxxP其中),(2121yyxx：121121yyyyxxxx⑷截距式：已知直线l与x轴的交点为A)0,(a，与y轴的交点为B),0(b：1xyab⑸一般式：0CByAx（A、B不同时为0，斜率BAk，y轴截距为BC）(6)k不存在axbaxo）的直线方程为过（轴垂直,903、直线之间的关系：222111:,:bxkylbxkyl⑴平行：21212121//bbkkkkll且都不存在，212121CCBBAA⑵垂直：21212111.021kkkkkkll不存在，02121BBAA⑶平行系方程：与直线0CByAx平行的方程设为：0mByAx⑷垂直系方程：与直线0CByAx垂直的方程设为：0nAyBx⑸定点(交点)系方程：过两条直线0:,0:22221111CyBxAlCyBxAl的交点的方程设为：0)(222111CyBxACyBxA反之直线0)(222111CyBxACyBxA中，取任何一切实数R，则直线一定过定点),(00yx，即0:,0:22221111CyBxAlCyBxAl两条直线的交点),(00yx4、距离公式：（1）两点间距离公式：两点),(),,(222211yxPxxP：21221221yyxxPP（2）点到直线距离公式:点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为2200BACByAxd（3）两平行线间的距离公式：1l：01CByAx与2l：02CByAx平行，则2221BACCd二、圆与方程1、圆的方程：⑴标准方程：222rbyax其中圆心为(,)ab，半径为r.⑵一般方程：022FEyDxyx(0422FED)其中圆心为(,)22DE，半径为22142rDEF.2、直线与圆的位置关系点),(00yx和圆222)()(rbyax的位置关系有三种：220202202022020)()()(rbyaxrbyaxrbyax）（点在圆外）（点在圆上）（点在圆内直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:0相离rd;0相切rd;0相交rd.切线方程：（1）当点),(00yxP在圆222ryx上200ryyxx圆222)()(rbyax200))(())((rbybyaxax（2）当点),(00yxP在圆222ryx外，则设直线方程00xxkyy，并利用d=r求出斜率，即可求出直线方程【备注：切线方程一定是两条，考虑特殊直线k不存在】④弦长公式：222||drAB2212121()4kxxxx3、两圆位置关系：21OOd⑴外离：rRd有4条公切线⑵外切：rRd有3条公切线⑶相交：rRdrR有2条公切线⑷内切：rRd有1条公切线⑸内含：rRd有0条公切线三、圆锥曲线与方程1．椭圆焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210xyabab222210yxabab第一定义到两定点21FF、的距离之和等于常数2a，即21||||2MFMFa（212||aFF）第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即(01)MFeed范围axa且bybbxb且aya顶点1,0a、2,0a10,b、20,b10,a、20,a1,0b、2,0b轴长长轴的长2a短轴的长2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122()FFccab离心率22222221(01)ccabbeeaaaa准线方程2axc2ayc2．双曲线焦半径0,0()Mxy左焦半径：10MFaex右焦半径：20MFaex下焦半径：10MFaey上焦半径：20MFaey焦点三角形面积12212tan()2MFFSbFMF021s21ycinPFPF通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：ab22焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210,0xyabab222210,0yxabab第一定义到两定点21FF、的距离之差的绝对值等于常数2a，即21||||2MFMFa（2102||aFF）第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即(1)MFeed范围或xaxa，yRya或ya，xR顶点1,0a、2,0a10,a、20,a轴长实轴的长2a虚轴的长2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122()FFccab离心率22222221(1)ccabbeeaaaa准线方程2axc2ayc【备注】1、双曲线和其渐近线得关系：由双曲线求渐进线：xabyaxbyaxbybyaxbyax22222222222201由渐进线求双曲线：2222222222220byaxbyaxaxbyaxbyxaby2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线其离心率e＝2渐近线xy方程设为22yx2、求弦长的方法：①求交点，利用两点间距离公式求弦长；②弦长公式渐近线方程byxaayxb焦半径0,0()MxyM在右支1020MFexaMFexa左焦：右焦：M在左支1020MFexaMFexa左焦：右焦：M上支1020MFeyaMFeya左焦：右焦：M下支1020MFeyaMFeya左焦：右焦：焦点三角形面积12212cot()2MFFSbFMF021s21ycinPFPF通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：ab22）　　（消　）　　（消xyyyykyykyxxxxkxxkl]4))[(11(||11]4))[(1(12122122122122122123.抛物线五、.直线与圆锥曲线的关系1、直线与圆锥曲线的关系如：直线y＝kx＋b与椭圆x2a2y2b2＝1(ab0)的位置关系：图形标准方程22ypx0p22ypx0p22xpy0p22xpy0p开口方向向右向左向上向下定义与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)顶点0,0离心率1e对称轴x轴y轴范围0x0x0y0y焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF准线方程2px2px2py2py焦半径0,0()Mxy02pMFx02pMFx02pMFy02pMFy通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HHp焦点弦长公式12ABxxp参数p几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔直线与椭圆相交⇔y＝kx＋bx2a2＋y2b2＝1有2组实数解，即Δ0.直线与椭圆相切⇔y＝kx＋bx2a2＋y2b2＝1有1组实数解，即Δ=0，直线与椭圆相离⇔y＝kx＋bx2a2＋y2b2＝1没有实数解，即Δ0.21教【备注】（1）韦达定理（根与系数的关系）ABxACxCByAxx2121x.x210x的两根方程和则有21221214)(||xxxxxx（2）bkxybkxy1122则有下列结论bxxkyy)(2121)(2121xxkyy22121221)(bxxkxxkyy③、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差→弦的斜率与中点的关系；0202yaxbk（椭圆）0202yaxbk（双曲线）3、关于抛物线焦点弦的几个结论（了解）设AB为过抛物线22(0)ypxp焦点的弦，1122(,)(,)AxyBxy、，直线AB的倾斜角为，则⑴221212,;4pxxyyp⑵22;sinpAB⑶以AB为直径的圆与准线相切；⑷焦点F对AB、在准线上射影的张角为2；⑸112.||||FAFBP