01--3、自然坐标系中的速度加速度1

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2020/2/25o平面自然坐标系中的速度、加速度(VelocityandAccelerationinthePlanarNaturalCoordinates一:曲率圆、曲率半径O圆称为曲率圆注意1)曲线上任一点m处的弧元ds就是该处曲率圆上的一小圆弧;或者说一条曲线可以看。成许多半径不同的圆弧段组成b1b2dsm称为曲率半径O点称为曲率中心2020/2/25ˆdsddo2)曲线越弯曲的地方,曲率半径越小。直线的=定义曲率1k含义:反映曲线弯曲的程度ddsddsdd,ˆ2020/2/25ˆ二)平面自然坐标系平面内一质点运动,若轨迹)(xfy已知snˆnˆ,ˆ其质点运动方程为:)(tss为表示矢量建立切向单位矢和法向单位矢XYOraO’自然坐标的建立:选择坐标原点O’,s选择坐标正方向,ao'用的弧长度S可表示质点的位置rOas2020/2/25三)平面自然坐标系中的速度ˆsO’ssr运动方程为)(tssdtrdvtssrlimˆlim0srtdtdststlim0crOtrtlim0srtslimlimˆdtdsvˆv为瞬时速率dtds2020/2/25三)平面自然坐标系中的速度ˆsO’ssrcrOˆdtdsvˆv22)()(dtdydtdxvvv有正负,自然坐标中的分量与直角坐标相比:注意:(二维平面)结论:自然坐标中的速度大小等于上式中的绝对值,方向沿切线方向。dtds/2020/2/25dO中四)平面自然坐标中的加速度ˆ'ˆnˆS+在a点附近取时间切向单位矢的增量为ˆddtdtdvdtdvdtvdaˆˆˆvvaanna称为法向加速;是变量ˆSddsO’aˆda称为切向加速度2020/2/25dtdvanˆna称为法向加速dtdsdsdvˆdsdvˆ2dsndvˆˆ2nvˆ2dtdvdtdvdtvdaˆˆaandO中ˆ'ˆnˆS+SddsO’aˆd2020/2/25ˆˆdtdvaa称为切向加速ˆˆdtdvnv2aaan切向加速度方向沿切线方向,故平面自然坐标中加速度为:dO中ˆ'ˆnˆS+SddsO’aˆd2020/2/25ˆˆdtdvnv2aaannaaaS+s222)()(vdtdv22aaanaaarctgn2020/2/25ˆˆdtdvnv2aaannaaaS+S,20,0av讨论:,0avconstv,90,2,0aaa2020/2/25讨论:A):直线运动中)(dtdva0a(匀速直线运动)02van;ˆdtdvaa;又若cinstv0dtdv;Xa则:2020/2/25sO’oˆˆdtdvnRva2aaan讨论:b):圆周运动中)(Rdtdva又若constv0dtdv(匀速圆周运动)nRvaˆ2aaRna02Rvan2020/2/25例:一半径R的滑轮绕O轴运动,其上绕以绳索,2121tah绳索的一端挂一重物,已知重物按规律下降,求轮沿上一点M的加速度(绳不伸长,与轮之间无相对滑动)已知:R,2121tah求:?Ma0s设M点在t=0时的初位置为解:建立自然坐标系s则:运动方程:21021tassSsana0sM1aO’R2020/2/2521021tasstadtdsv1ˆˆ1adtdvaˆˆ1221anRtaaaanM运动方程Ssana0sM1aO’RnRtanRvanˆˆ22122020/2/25注意:同一质点的加速度无论在直角坐标还是自然坐标中总加速度只能是一个值。aaYYOO’ayaxanaA作业:‘康书’1--8、1--10、1--11;1--16大学物理习题集:p5--15、p6---17*2020/2/25质点圆周运动的角量描述AngleDescriptionforaParticleMotioninaCircle引入:很多物体作圆周运动各点的速度加速度不同,用以往的速度加速度描述不便,为此引入角量描述。+rnmH原子的玻尔模型2020/2/25OX一)圆周运动的角量描述1)角位置(角坐标)圆心到质点所在位置的连线与参考方向之间的夹角a)一般规定逆时钟转动为正角位置;)(t………(1)(1)式为用角量描述圆周运动的运动方程b)角位置的单位常用弧度(rad)无量纲;c)当质点随时间在圆周上转动时,为时间的函数注意:(先要规定参考方向)2020/2/252)角位移()质点在时间内质点转过的角度t12注意:1)的单位为弧度2)可以证明当0时可以当作一个矢量dd12ddd与转动方向符合右手螺旋关系即定义了一个矢量2020/2/253)角速度a)平均角速度定义:t注意:平均角速度不是矢量b)瞬时角速度定义:12注意:dtd与转动方向成右手缧旋关系1)通常是画在坐标原点处。OO2020/2/252)单位注意:与转动方向成右手缧旋关系1)通常是画在坐标原点处。1][][][St4)角加速度tA)平均角加速度()12定义:O12tT+t含义:反映一段时间内角速度变化快慢。2020/2/255)瞬时角加速度()定义:dtdtt0limdO12tT+dtO21tt+dt单位:21s/方向:的极限方向d2020/2/25引入了角位置,角位移,角速度,角加速度,它们与位矢,速度,加速度一一对应。rrva线量角量二)角量和线量的关系甲)角量、线量之间的数量关系SROO’S+以参考方向与轨迹交点O’作自然坐标的原点设质点作圆周运动2020/2/25二)角量和线量的关系甲)角量、线量之间的数量关系1)自然坐标与角位置的关系Rs….(1)2)线速度与角速度的关系dtdsv….(2)3)线加速度的大小与角加速度的大小的关系RRvan22…..(3)SROO’S+dtdRRvna2020/2/253)线加速度的大小与角加速度的大小的关系RRvan22…..(3)….(4)dtdva)(Rv22aaan…..(5)SROO’S+aa2224RR24RRdtdRna2020/2/2522aaan…..(5)][aaarctgn………(6)aSO’S+24RanaRo2020/2/25rYXZoRO’vm1)角速度与线速度的矢量关系矢量关系乙)在moo,中:sinrRrrvsinrRv2020/2/252)角加速度与线加速度的矢量关系rvdtvdadtrdrdtdvrnaarYXZORvmaana)(rdtd2020/2/25vranaar90sinvv方向沿切向方向方向沿法向方向ravansinrRrYXZORvmaana2020/2/25I+bRaX+vO介绍一下双向标量:标量中有一类,它不同于矢量可有空中任何的一个方向。但有非此即彼,非彼即此的两种可能的方向,如电流强度I。此种量称为双向标量。这样的量可以通过规定正方向用代数量的正负来表示其实际方向。有时当一个矢量仅有两个非此即彼,非彼即此的方向时,也可当作双向标量处理。如一在直线上运动的质点的速度、加速度等----I0I02020/2/25AX例:一刚体作定轴匀速转动(),求其上一质元运动方程。const设:00otot;解:,只有两种可能的方向,故当双向标量处理,设正方向如图。dtd两边积分:tdtd00t0……(1)Adtd2020/2/25两边积分:ttdttdtd0000)(dtd…(2)20021ttt0(1).(2)式消去t得)(02022……(3)dtdAA02020/2/25A…(2)20021ttt0)(02022…(3)…(1)何其相似乃尔!A0X

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