2.3数学归纳法

高二数学选修2-1第二章推理与证明2.3数学归纳法21141432224147233415324441612554171【1】都是质数猜想:_______________________________.2N,41nnn对都是质数猜想是错误的.当时，41n猜想正确吗?2241414141nn是一个合数.4143已知数列{an}的第一项a1=1,且(n=1,2,…),试归纳出这个数列的通项公式.11nnnaaa解:11,a21,2a31,3a41,4a由此猜想:1(N).nann【2】但如何证明推理得到的结论呢？思考1:某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某家族所有男人世代都姓王的条件是什么？（1）始祖姓王；（2）子随父姓.（第1代姓王）（如果第k代姓王，则第k+1代也姓王）思考2？有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？(条件是什么）⑴第一块骨牌倒下；⑵任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下☞两个条件的作用：条件⑴：奠基；条件⑵：递推关系已知数列{an}的第一项a1=1,且(n=1,2,…),试归纳出这个数列的通项公式.11nnnaaa由此猜想:1(N).nann思考？证明:(1)当n=1时,猜想成立.(2)假设n=k时,猜想成立.即那么,当n=k+1时即当n=k+1时猜想也成立.1111a1(N).kakk11kkkaaa111kk1.1k所以对任何nN*猜想都成立,即1(N).nann对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：1.证明当n取第一个值n0时命题成立；2.假设当n=k(k≥n0,kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.数学归纳法这种证明方法就叫做______________.那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立,如下证明对吗？2135(21),kk则[2(1)1]135(21)[12(1)1](1)2kkkk第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明.证明:①当n=1时,左边＝1，右边＝12＝1∴n=1时,命题成立.②设n=k时,有即n=k+1时，命题成立.2(1).k根据①②问可知，对n∈N*，等式成立.证明:1+3+5+…+(2n1)=n2.数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当取第一个值（如或2等）时结论正确；10nn0n（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．)N(0nkkkn且1kn递推基础递推依据“找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真”注意：1、一定要用到归纳假设；2、看清从k到k＋1中间的变化。2222(1)(21)123(N).6nnnnn1(11)(21)1.6右边2(1)(21)()61kkkk2(1)(21)6(1)6kkkk2222(1)(21)3612,kkkk例1.用数学归纳法证明证明:(1)当n=1时,左=12=1，∴n=1时,等式成立.(2)假设n=k时,等式成立，即那么,当n=k+1时左边=12+22+…+k2+(k+1)2=即当n=k+1时命题也成立.由(1)和(2),可知原命题对任何nN*都成立.(1)(2)(23),6kkk例2已知数列：试猜想其前n项和Sn的表达式，并数学归纳法证明.1111,,,,,1447710(32)(31)nn创?+LL31nnSn=+2311111().222221变练习1：求证：＋＋＋nn式证明:①当n=1时,左边＝1,2右边＝1111().22②假设当n=k时,命题成立，即12311111(),22222kk++++那么,当n=k+1时,有1312111222212kk++＋＋∴n=1时等式成立.即当n=k+1时命题也成立.由(1)和(2),可知原命题对任何nN*都成立.1111()22kk111().2k•学案722PT归纳法的分类：不完全归纳法对考察对象一一考察后得出结论完全归纳法某些与自然数有关的数学命题数学归纳法作业:课本:课外作业：4.两个步骤、一个结论缺一不可,否则结论不能成立；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.两个步骤一结论；递推基础不可少；归纳假设要用到；结论写明莫忘掉。祝同学们学习快乐。直挂云帆济沧海长风破浪会有时(2)假设n=k时,11k+2+122k+1能被133整除,=1111k+2+122122k+1=11(11k+2+122k+1)11122k+1+122122k+1=1111(11k+2+122k+1)+122k+1(14411)=11(11k+2+122k+1)+122k+1133.例3.证明:对任意正整数n,数11n+2+122n+1是133的倍数.证明:(1)当n=1时,11n+2+122n+1=113+123=23133,∴23133能被133整除,即n=1时命题成立.那么11(k+1)+2+122(k+1)+1(3)整除性问题由归纳假设知11k+2+122k+1及122k+1133都能被133整除,∴11(k+1)+2+122(k+1)+1能被133整除,即n=k+1时命题也成立.例3.证明:对任意自然数n,数11n+2+122n+1是133的倍数.(3)整除性问题证明:根据(1)和(2),可知命题对任何nN﹡都成立.(1)数学归纳法是一种完全归纳的证明方法,它适用于与正整数有关的数学命题的证明;(2)两个步骤,一个结论,缺一不可,否则结论不能成立；(3)在证明递推时,必须使用归纳假设,必须进行恒等变形。递推基础不可少归纳假设要用到结论写明莫忘掉穷举法数学归纳法完全归纳法不完全归纳法归纳法【1】用数学归纳证明34n+2+32n+1能被18整除时.81(34K+2+32K+1)-72×32K+11842