专题六:排列组合与二项式定理1、基本计数原理⑴分类加法计数原理:(分类相加)做一件事情,完成它有n类办法,在第一类办法中有1m种不同的方法,在第二类办法中有2m种不同的方法……在第n类办法中有nm种不同的方法.那么完成这件事情共有nmmmN21种不同的方法.⑵分步乘法计数原理:(分步相乘)做一件事情,完成它需要n个步骤,做第一个步骤有1m种不同的方法,做第二个步骤有2m种不同的方法……做第n个步骤有nm种不同的方法.那么完成这件事情共有nmmmN21种不同的方法.2、排列与组合⑴排列定义:一般地,从n个不同的元素中任取nmm个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素中任取m个元素的一个排列.⑵组合定义:一般地,从n个不同的元素中任取nmm个元素并成一组,叫做从n个不同的元素中任取m个元素的一个组合.⑶排列数:从n个不同的元素中任取nmm个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中任取m个元素的排列数,记作mnA.⑷组合数:从n个不同的元素中任取nmm个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同的元素中任取m个元素的组合数,记作mnC.⑸排列数公式:①121mnnnnAmn!mnnAmn!;②!nAnn,规定1!0.⑹组合数公式:①!121mmnnnnCmn或!!mnmnCmn!;②mnnmnCC,规定10nC.⑺排列与组合的区别:排列有顺序,组合无顺序.⑻排列与组合的联系:mmmnmnACA,即排列就是先组合再全排列.(1)(1)!()(1)21!!mmnnmmAnnnmnCmnAmmmnm⑼排列与组合的两个性质性质排列11mnmnmnmAAA;组合11mnmnmnCCC.⑽解排列组合问题的方法①特殊元素、特殊位置优先法(元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置).②间接法(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉).③相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列,最后再“松绑”,将特殊元素在这些位置上全排列).④不相邻(相间)问题插空法(某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间).⑤有序问题组合法.⑥选取问题先选后排法.⑦至多至少问题间接法.⑧相同元素分组可采用隔板法.⑨分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成n组问题别忘除以n!.3、二项式定理⑴二项展开公式:011222nnnnrnrrnnnnabCaCabCabCabnnnCbnN.⑵二项展开式的通项公式:NnNrnrbaCTrrnrnr,,01.主要用途是求指定的项.⑶项的系数与二项式系数项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数.如在()naxb的展开式中,第1r项的二项式系数为rnC,第1r项的系数为rnrrnCab;而1()nxx的展开式中的系数等于二项式系数;二项式系数一定为正,而项的系数不一定为正.⑷nx1的展开式:0221101xCxCxCxCxnnnnnnnnn,若令1x,则有nnnnnnnCCCC210211.二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即131202nnnnnCCCC⑸二项式系数的性质:(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即mnnmnCC;(2)增减性与最大值:当12nr时,二项式系数Crn的值逐渐增大,当12nr时,Crn的值逐渐减小,且在中间取得最大值。当n为偶数时,中间一项(第2n+1项)的二项式系数2nnC取得最大值.当n为奇数时,中间两项(第21n和21n+1项)的二项式系数1122nnnnCC相等并同时取最大值.⑹系数最大项的求法设第r项的系数rA最大,由不等式组11rrrrAAAA可确定r.⑺赋值法若2012()...,nnnaxbaaxaxax则设()().nfxaxb有:①0(0);af②012...(1);naaaaf③0123...(1)(1);nnaaaaaf④0246(1)(1)...;2ffaaaa⑤1357(1)(1)....2ffaaaa专题七:随机变量及其分布1、基本概念⑴互斥事件:不可能同时发生的两个事件.如果事件ABC、、,其中任何两个都是互斥事件,则说事件ABC、、彼此互斥.当AB、是互斥事件时,那么事件AB发生(即AB、中有一个发生)的概率,等于事件AB、分别发生的概率的和,即()()()PABPAPB.⑵对立事件:其中必有一个发生的两个互斥事件.事件A的对立事件通常记着A.对立事件的概率和等于1.()1()PAPA.特别提醒:“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件,因此,对立事件必然是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.⑶相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,(即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响).这样的两个事件叫做相互独立事件.当AB、是相互独立事件时,那么事件AB发生(即AB、同时发生)的概率,等于事件AB、分别发生的概率的积.即()()()PABPAPB.若A、B两事件相互独立,则A与B、A与B、A与B也都是相互独立的.⑷独立重复试验①一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.②独立重复试验的概率公式如果在1次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个试验恰好发生k次的概率()(1)0,12,.,kknknnPknkCpp知识结构⑸条件概率:对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,叫做条件概率.记作P(B|A),读作A发生的条件下B发生的概率.公式:()(),()0.()PABPBAPAPA2、离散型随机变量⑴随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量奎屯王新敞新疆随机变量常用字母,,,XY等表示.⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.⑶连续型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量.⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出.若X是随机变量,(,YaXbab是常数)则Y也是随机变量奎屯王新敞新疆并且不改变其属性(离散型、连续型).3、离散型随机变量的分布列⑴概率分布(分布列)设离散型随机变量X可能取的不同值为12,xx,…,ix,…,nx,X的每一个值ix(1,2,,in)的概率()iiPXxp,则称表X1x2x…ix…nxP1p2p…ip…np为随机变量X的概率分布,简称X的分布列.性质:①0,1,2,...;ipin②11.niip⑵两点分布如果随机变量X的分布列为则称X服从两点分布,并称(1)pPX为成功概率.⑶二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是()(1).kknknPXkCpp其中0,1,2,...,,1knqp,于是得到随机变量X的概率分布如下:X01…k…nP00nnCpq111nnCpq…kknknCpq…0nnnCpq我们称这样的随机变量X服从二项分布,记作pnBX,~,并称p为成功概率.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有三点:①对立性:即一次试验中事件发生与否二者必居其一;②重复性:即试验是独立重复地进行了n次;③等概率性:在每次试验中事件发生的概率均相等.注:⑴二项分布的模型是有放回抽样;⑵二项分布中的参数是,,.pkn⑷超几何分布一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品数,则事件Xk发生的概率为()(0,1,2,,)knkMNMnNCCPXkkmC,于是得到随机变量X的概率分布如下:其中min,mMn,*,,,,nNMNnMNN≤≤.我们称这样的随机变量X的分布列为超几何分布列,且称随机变量X服从超几何分布.注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样;⑵超几何分布中的参数是,,.MNn其意义分别是总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量.4、离散型随机变量的均值与方差⑴离散型随机变量的均值一般地,若离散型随机变量X的分布列为X1x2x…ix…nxP1p2p…ip…np则称1122iinnEXxpxpxpxp为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望).它反映了离散型随机变量取值的平均水平.X01P1ppX01…mP00nMNMnNCCC11nMNMnNCCC…mnmMNMnNCCC