高中数学 抛物线

菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）第七节抛物线菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离______的点的轨迹叫做抛物线．相等菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图形范围x≥0，y∈R________________y≥0，x∈Ry≤0，x∈Rx≤0，y∈R菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）焦点坐标______(－p2，0)(0，p2)________准线方程x＝－p2___________y＝p2离心率e＝1焦半径|PF|＝x0＋p2|PF|＝_______|PF|＝______|PF|＝－y0＋p2(p2，0)(0，－p2)x＝p2y＝－p2－x0＋p2y0＋p2菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．在抛物线的定义中，若定点F在直线l上，动点P的轨迹还是抛物线吗？【提示】不是．当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线．2．抛物线y2＝2px(p＞0)上任一点M(x1，y1)到焦点F的距离|MF|与坐标x1有何关系？【提示】抛物线y2＝2px的准线方程是x＝－p2，根据抛物线的定义知|MF|＝x1＋p2.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【答案】B1．(人教A版教材习题改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.1716B.1516C.78D．0【解析】M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－116，设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1516.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）2．(2013·西安质检)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x【答案】B【解析】因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以p2＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.所以选B.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【答案】B3．(2012·四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()A．22B．23C．4D．25【解析】由题意设抛物线方程为y2＝2px(p0)，则M到焦点的距离为xM＋p2＝2＋p2＝3，∴p＝2，∴y2＝4x，∴y20＝4×2，∴y0＝±22，∴|OM|＝4＋y20＝4＋8＝23.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为()A．4B．－2C．4或－4D．12或－2【答案】C【解析】设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意知p2＋2＝4，∴p＝4，∴抛物线方程为x2＝－8y，∴m2＝16，∴m＝±4.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）5．双曲线x23－16y2p2＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为________．【解析】双曲线的左焦点坐标为(－3＋p216，0)，抛物线的准线方程为x＝－p2，∴－3＋p216＝－p2，∴p2＝16，又p＞0，则p＝4.【答案】4菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(1)(2013·惠州质检)设圆C与圆C′：x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为()A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆(2)(2012·重庆高考)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝2512，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【思路点拨】(1)根据圆C与圆外切、和直线相切，得到点C到圆心的距离，到直线的距离，再根据抛物线的定义可求得结论．(2)由抛物线定义，将|AB|、|AF|转化为到焦点的距离，数形结合求解．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【尝试解答】(1)设圆C的半径为r，又圆x2＋(y－3)2＝1的圆心C′(0，3)，半径为1.依题意|CC′|＝r＋1，圆心C到直线y＝0的距离为r，∴|CC′|等于圆心C到直线y＝－1的距离(r＋1)．故圆C的圆心轨迹是抛物线．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2)由y2＝2x，得p＝1，焦点F(12，0)．又|AB|＝2512，知AB的斜率存在(否则|AB|＝2)．设直线AB的方程为y＝k(x－12)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝k(x－12)代入y2＝2x，得k2x2－(k2＋2)x＋k24＝0.(*)菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）∴x1＋x2＝1＋2k2，又|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝2512，因此x1＋x2＝1＋2k2＝1312，k2＝24.则方程(*)为12x2－13x＋3＝0，又|AF|＜|BF|，∴x1＝13，x2＝34.∴|AF|＝x1＋p2＝13＋12＝56.【答案】(1)A(2)56菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．(1)凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．(2)第(2)题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点A的坐标．2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋p2；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2013·安徽八校联考)已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A(72，4)，求|PA|＋|PM|的最小值．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【解】设抛物线的焦点为F，则|PF|＝|PM|＋12，∴|PM|＝|PF|－12，∴|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－12，将x＝72代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±7，∵7＜4，∴点A在抛物线的外部，∴当P、A、F三点共线时，|PA|＋|PF|有最小值，∵F(12，0)，菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）∴|AF|＝（72－12）2＋（4－0）2＝5，∴|PA|＋|PM|有最小值5－12＝92.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(1)(2013·济南质检)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D．48(2)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A．y2＝±22xB．y2＝±2xC．y2＝±4xD．y2＝±42x菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【思路点拨】(1)由于准线与AB平行，将点P到直线AB的距离转化为焦点F到准线的距离，只需求P.(2)确定焦点，从而求出p值．【尝试解答】(1)设抛物线方程为y2＝2px，当x＝p2时，y2＝p2，∴|y|＝p，∴p＝|AB|2＝122＝6，又点P到AB的距离始终为6，∴S△ABP＝12×12×6＝36.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【答案】(1)C(2)D(2)由题意知，抛物线C的焦点坐标为(－2，0)或(2，0)，∴p＝22，∴抛物线的方程为y2＝42x或y2＝－42x.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．抛物线有四种不同形式的标准方程，要掌握焦点与准线的距离，顶点与准线、焦点的距离，通径与标准方程中系数2p的关系．2．求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．3．焦点到准线的距离，简称焦准距，抛物线y2＝2px(p＞0)上的点常设为(y22p，y)，便于简化计算．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0，2)B．[0，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)【解析】由抛物线C：x2＝8y知p＝4，∴焦点F(0，2)，准线方程y＝－2.由抛物线定义，|MF|＝y0＋2，菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）∵以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，且圆心F(0，2)到准线y＝－2的距离为4.∴4＜y0＋2，从而y0＞2.【答案】C菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2013·湘潭质检)已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD→·EB→的最小值．【思路点拨】(1)利用直接法求轨迹方程；(2)先设直线l1的斜率为k，依题设条件可求出AD→·EB→关于k的解析式，利用均值不等式求最值．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【尝试解答】(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意得（x－1）2＋y2－|x|＝1，化简得y2＝2x＋2|x|.当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0.所以动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x＜0)．(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．由y＝k（x－1）y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋4k2，x1x2＝1.因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－1k.设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.AD→·EB→＝(AF→＋FD→)·(EF→＋FB→)＝AF→·EF→＋AF→·FB→＋FD→·EF→＋FD→·FB→＝AF→·FB→＋FD→·EF→＝|AF→|·|FB→|＋|FD→|·|EF→|菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）＝(x1＋1