高中数学 3-2-1 直线的点斜式方程课件 新人教A版必修

第三章直线与方程3．2直线的方程第三章第三章3．2.1直线的点斜式方程课前自主预习思路方法技巧名师辨误做答课后强化作业课堂基础巩固课前自主预习温故知新1．前面我们学习了直线的斜率、倾斜角及求直线斜率的方法．(1)斜率：当直线l的倾斜角α不等于90°时，α的值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示．正切k(2)斜率公式：①k＝(α≠90°)；②k＝，其中P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是直线l上的两点．(3)斜率与倾斜角的关系：一条直线必有唯一的倾斜角，但不一定有(倾斜角为90°时无斜率)．(4)斜率的意义：斜率间接反映了直线对x轴正向的倾斜程度．tanαy2－y1x2－x1(x1≠x2)斜率2．确定直线的几何要素：直线上的一点和直线的角或直线上不同的点．3．一次函数及其图象：函数y＝kx＋b(k≠0)称为一次函数，其图象是，该直线斜率为k，与y轴的交点为．倾斜两一条直线(0，b)新课引入生活中会遇到这个场景，起重机在起吊重物时，首先将起重臂扬起某一角度，然后将起重臂伸长，最后将吊钩放下，将重物吊起．起重臂是绕着轴旋转的，旋转到某一角度可以停下．在平面中，如果将起重臂看成直线，轴看成点，那么是否可以认为，直线上一定点和直线的倾斜角可以确定这条直线？答案是肯定的，本节我们就来学习直线的点斜式方程．自主预习阅读教材P92～94，回答下列问题．1．直线的点斜式方程(1)定义：如下图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．y－y0＝k(x－x0)(2)说明：如下图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或.x＝x0[破疑点]一般地，如果一条直线上任一点的坐标(x，y)都满足一个方程，且满足该方程的每一个数对(x，y)所确定的点都在直线l上，我们就把这个方程称为直线l的方程．直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是()A．2B．－1C．3D．－3[答案]C[解析]直线l过点(－1,2)，斜率为3.2．直线的斜截式方程(1)定义：如下图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．y＝kx＋b(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的．倾斜角是的直线没有斜截式方程．截距90°[破疑点]值得强调的是，截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”而恒为非负数．[拓展]1.直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为此直线的横截距．并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距．2．直线的点斜式方程和斜截式方程的联系与区别剖析：直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)中，(x，y)是直线上任意一点的坐标，(x0，y0)是直线上的一个定点，k是直线的斜率；直线的斜截式方程y＝kx＋b中，(x，y)是直线上任意一点的坐标，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，即过点(0，b)．联系：直线的点斜式方程和斜截式方程是直线方程的两种不同形式，都可以看成直线上任意一点(x，y)的横坐标x和纵坐标y之间的关系等式，即都表示直线．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况．区别：直线的点斜式方程是用直线的斜率k和直线上一定点的坐标(x0，y0)来表示的，同一条直线的点斜式方程有无数个；直线的斜截式方程是用直线的斜率k和该直线在y轴上的截距b来表示的，同一条直线的斜截式方程是唯一的．直线y＝－2x＋3的斜率是________，在y轴上的截距是________，在x轴上的截距是________．[答案]－2332[解析]斜率是－2；在y轴上的截距是3；令y＝0得x＝32，即在x轴上的截距是32.思路方法技巧命题方向直线的点斜式方程[例1]你能写出下列直线的点斜式方程吗？没有点斜式方程的直线和斜率为0的直线如何表示？(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；(4)经过点D(1,1)，与x轴垂直．[解析](1)y－5＝4(x－2)；(2)k＝tan45°＝1∴y－3＝x－2；(3)y＝－1；(4)x＝1.[点评]①使用点斜式方程，必须注意前提条件是斜率存在．②注意方程x＝1的含义：它表示一条垂直于x轴的直线，这条直线上任意一点的横坐标都是1.写出满足下列条件的直线方程填空．(1)过点(－1,2)，斜率为3，________；(2)过点(－3,1)，平行于x轴，________；(3)过点(－3,1)，(1,4)，________；(4)过点(－1，－3)，倾斜角为135°，________.[答案](1)3x－y＋2＋3＝0.(2)y＝1.(3)3x－4y＋13＝0.(4)x＋y＋4＝0.[解析](1)方程当y－2＝3(x＋1)即3x－y＋2＋3＝0(2)方程为y－1＝0x－3x＋3即y＝1(3)直线的斜率k＝4－11－－3＝34，故方程为y－4＝34(x－1)，即3x－4y＋13＝0.(4)k＝tan135°＝－tan45°＝－1，y＋3＝－1·(x＋1)，即x＋y＋4＝0.命题方向直线的斜截式方程[例2]写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)倾斜角是150°，在y轴上的截距是0.[解析](1)y＝3x－3；(2)∵k＝tan60°＝3；∴y＝3x＋5；(3)∵k＝tan150°＝－33；∴y＝－33x.总结评述：直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，不是“距离”，可以是负数、0、正数．写出满足下列条件的直线的方程．(1)斜率为5，在y轴上截距为－1，________；(2)倾斜角30°，在y轴上截距为3，________.[答案](1)5x－y－1＝0(2)x－3y＋3＝0[解析](1)方程为y＝5x－1，即5x－y－1＝0.(2)方程为y＝xtan30°＋3，即x－3y＋3＝0.探索延拓创新命题方向利用平行与垂直的条件求直线的方程[例3](1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；(2)求经过点(－1,1)，且与直线y＝－2x＋7垂直的直线的方程；[分析]由已知直线的方程求出斜率，再根据两直线平行或垂直的条件求解．[解析](1)由y＝2x＋7得k1＝2，由两直线平行知k2＝2.∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)．(2)由y＝－2x＋7得k1＝－2，由两直线垂直知k1k2＝－1，∴k2＝12.∴所求直线方程为y－1＝12(x＋1)．一条直线l在y轴上截距为－2，且与直线l1：y＝－13x＋2垂直，则l的方程为________．[答案]3x－y－2＝0命题方向直线的倾斜角[例4]求倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(－4,1)；(2)在y轴上的截距为－10.[分析]通过已知直线的斜率求出所求直线的斜率，再分别由点斜式和斜截式求出直线的方程．[解析]∵直线l1y＝－3x＋1的斜率k1＝－3，∴直线的倾斜角为120°，由题意知，所求直线的倾斜角为60°，斜率k＝3.(1)∵过点(－4,1)，∴直线方程为y－1＝3(x＋4)．(2)∵在y轴上截距为－10，∴直线方程为y＝3x－10.经过点(－1,1)，倾斜角是直线y＝33x－2的倾斜角的2倍的直线方程是()A．x＝－1B．y＝1C．y－1＝233(x＋1)D．y－1＝3(x＋1)[答案]D[解析]已知直线斜率k＝33，∴倾斜角为30°，故所求直线倾斜角为60°，斜率为3，方程为y－1＝3(x＋1)，故选D.[例5](1)在直线y＋2＝k(x－3)中，k取任意实数，可得无数条直线，这无数条直线的共同特征是________．(2)不论m取何值，直线mx－y＋m＋3＝0恒过定点_____．命题方向直线过定点问题[答案](1)过定点(3，－2)(2)(－1,3)[解析](1)由直线点斜式方程的定义知，不论k取何实数方程y＋2＝k(x－3)总表示经过点(3，－2)，斜率为k的直线，所以这些直线的共同特征是过定点(3，－2)．(2)将方程mx－y＋m＋3＝0变形为y－3＝m(x＋1)可知，不论m取何实数，直线总过定点(－1,3)．[点评]关于直线系过定点问题解决方法：(一)分离参数法，如(2)的解答．(二)赋值法：∵无论m取何实数，直线总过定点(设为P)，∴当m＝0，m＝1时，直线－y＋3＝0与x－y＋4＝0也都过P.由－y＋3＝0x－y＋4＝0解得定点P的坐标为(－1,3)．名师辨误做答[例6]已知斜率为－43的直线l，与两坐标轴围成三角形面积为6，求l的方程．[错解]设l：y＝－43x＋b，令x＝0得，y＝b，令y＝0得，x＝34b，根据题意得12·b·(34b)＝6，∵b0，∴b＝4.∴直线l的方程为y＝－43x＋4.[辨析]直线在x轴(y轴)上的截距是直线与x轴(y轴)交点的横(纵)坐标不是距离，错解误把直线在两轴上截距当作距离．[正解]设l：y＝－43x＋b，令x＝0得y＝b，令y＝0得x＝34b，根据题意得12·|b|·|34b|＝6，∴b2＝16，∴b＝±4，故直线l的方程为y＝－43x±4.课堂基础巩固1．过点P(－2,0)，斜率为3的直线的方程是()A．y＝3x－2B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2)D．y＝3(x＋2)[答案]D2．经过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程是()A．y＋2＝3(x－3)B．y－2＝33(x＋3)C．y－2＝3(x＋3)D．y＋2＝33(x－3)[答案]C3．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是()A．x＝3B．y＝－5C．2y＝xD．x＝4y－1[答案]B4．直线y＝kx＋b过原点的条件是()A．k＝0B．b＝0C．k≠0且b＝0D．k＝0且b＝0[答案]B5．直线方程为y＋2＝2x－2，则直线的斜率为________，在y轴上的截距为________．[答案]2，－46．过点(2,1)，平行于y轴的直线方程为________．平行于x的轴的直线方程为________．[答案]x＝2；y＝17．已知两直线y＝ax＋1和y－3＝(2＋a)(x－π)互相垂直，则a＝________.[答案]－1[解析]由题意，知a(2＋a)＝－1，解得a＝－1.8．直线l经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y＝3x＋3的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．[解析]直线y＝3x＋3的斜率k＝3，则其倾斜角α＝60°，∴直线l的倾斜角为120°，∴直线l的斜率为k′＝tan120°＝－3.∴直线l的点斜式方程为y－4＝－3(x－3)．