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课前预习课堂互动课堂反馈§5用样本估计总体5.1估计总体的分布5.2估计总体的数字特征课前预习课堂互动课堂反馈学习目标1.学会列频率分布表，会画频率分布直方图(重点).2.会用频率分布表或频率分布直方图估计总体分布，并作出合理解释(重点).3.在解决问题过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，认识统计的实际作用，初步经历收集数据到统计数据的全过程(重、难点).课前预习课堂互动课堂反馈预习教材P32－39完成下列问题：知识点1频率分布表与频率分布直方图1.用样本估计总体的两种情况(1)用样本的估计总体的分布.(2)用样本的估计总体的数字特征.数字特征课前预习课堂互动课堂反馈2.作频率分布直方图的步骤(1)求极差：即一组数据中和的差；(2)决定组距与组数：将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来.这时应注意：①一般样本容量越大，所分组数；②为方便起见，组距的选择应力求“取整”；③当样本容量不超过120时，按照数据的多少，通常分成组.(3)将数据分组：按将数据分组，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间.(4)列频率分布表：一般分四列：分组、频数累计、、，最后一行是合计.其中频数合计应是样本容量，频率合计是.最大值最小值越多5~12组距频数频率1课前预习课堂互动课堂反馈(5)画频率分布直方图：画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示.其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积.即每个小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率.频率/组距课前预习课堂互动课堂反馈【预习评价】1.为什么要对样本数据进行分组？提示不分组很难看出样本中的数字所包含的信息，分组后，计算出频率，从而估计总体的分布特征.2.频数分布表与频率分布直方图有什么不同？提示频数分布表能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律.课前预习课堂互动课堂反馈知识点2频率折线图在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间.从所加的左边区间的开始，用线段依次连接各个矩形的，直至右边所加区间的，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图.随着样本量的增大，所划分的区间数也可以随之，而每个区间的长度则会相应随之，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线.中点顶端中点中点增多减小课前预习课堂互动课堂反馈【预习评价】(正确的打√，错误的打×)(1)频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率()(2)频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1()(3)频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大()(4)频率分布折线图是从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接频率分布直方图的每个小矩形顶端中点，直至右边所加区间的中点得到的()提示由于频率分布直方图中小矩形的高为频率除以组距，故(1)错.答案(1)×(2)√(3)√(4)√课前预习课堂互动课堂反馈题型一频率分布直方图的绘制【例1】调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170168160174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161(1)作出频率分布表；(2)画出频率分布直方图.课前预习课堂互动课堂反馈解(1)①求极差：从数据中可看出，最大值是180，最小值是151，故极差为180－151＝29.②确定组距与组数：取3为组距，则极差组距＝293＝923，故可将样本数据分成10组.③第一组起点定为150.5，组距为3，这样分出10组：[150.5,153.5)，[153.5,156.5)，[156.5,159.5)，[159.5,162.5)，[162.5,165.5)，[165.5,168.5)，[168.5,171.5)，[171.5,174.5)，[174.5,177.5)，[177.5,180.5].课前预习课堂互动课堂反馈④列频率分布表宽度分组频数频率150.5～153.510.025153.5～156.510.025156.5～159.540.1159.5～162.550.125162.5～165.580.5165.5～168.5110.275168.5～171.560.375171.5～174.520.125174.5～177.510.025177.5～180.510.025课前预习课堂互动课堂反馈(2)作频率分布直方图规律方法1.组数的决定方法是：设数据总数目为n，一般地，当n≤50，则分为5～8组；当50≤n≤120时，则分为8～12组较为合适.2.分点数的决定方法是：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是小数点后一位的数，则分点减去0.05，以此类推.3.画频率分布直方图小长方形高的方法是：假设频数为1的小长方形的高为h，则频数为k的小长方形高为kh.课前预习课堂互动课堂反馈【训练1】美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是里根，他于1981年就任，当时69岁.下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马，共44任)给出了历届美国总统就任时的年龄：57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48(1)将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图.(2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况.课前预习课堂互动课堂反馈解(1)①求极差：从数据中可看出，最大值是69，最小值是43，故极差为69－43＝26.②确定组距与组数：取4为组距，则极差组距＝264＝612，故可将样本数据分成7组.③第一组起点定为41.5，组距为3，这样分出7组：[41.5,45.5)，[45.5,49.5)，[49.5,53.5)，[53.5,57.5)，[57.5,61.5)，[61.5,65.5)，[65.5,69.5].课前预习课堂互动课堂反馈④列频率分布表如下：宽度分组频数频率[41.5,45.5)20.0455[45.5,49.5)70.1591[49.5,53.5)80.1818[53.5,57.5)160.3636[57.5,61.5)50.1136[61.5,65.5)40.0909[65.5,69.5]20.0455合计441.00课前预习课堂互动课堂反馈(2)从频率分布表中可以看出60%左右的美国总统就任时的年龄在50岁至60岁之间，45岁以下以及65岁以上就任的总统所占的比例相对较小.课前预习课堂互动课堂反馈题型二频率分布直方图的应用【例2】为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率约是多少？课前预习课堂互动课堂反馈解(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08.因为第二小组的频率＝第二小组的频数样本容量，所以样本容量＝第二小组的频数第二小组的频率＝120.08＝150.(2)由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%.课前预习课堂互动课堂反馈2.频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性.规律方法1.频率分布直方图的性质：(1)因为小矩形的面积＝组距×频率组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.(3)频数相应的频率＝样本容量.课前预习课堂互动课堂反馈【训练2】某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96,106](单位：厘米)，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106].课前预习课堂互动课堂反馈(1)求出x的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出样本总量N的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据，求出样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的学生数.课前预习课堂互动课堂反馈解(1)由题意可知：(0.050＋0.100＋0.150＋0.125＋x)×2＝1，解得：x＝0.075.(2)设样本容量为N，样本中身高小于100厘米的频率为p1，所以，p1＝(0.050＋0.100)×2＝0.30，而p1＝36N，所以N＝36p1＝360.30＝120.(3)样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的频率为p2＝(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的学生数，n＝p2N＝120×0.75＝90.课前预习课堂互动课堂反馈【探究1】某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.(1)求这次测试数学成绩的众数；(2)求这次测试数学成绩的中位数；(3)求这次测试数学成绩的平均分.课前预习课堂互动课堂反馈解(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数，在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为所求，所以成绩的众数为75.(2)由于中位数是所有数据中的中间值，故在直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等.因此在频率分布直方图中，将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求.∵前三个小矩形的面积和为：(0.005＋0.015＋0.020)×10＝0.4，第四个小矩形的面积为：0.030×10＝0.3,0.4＋0.3＝0.70.5.∴中位数应位于第四个小矩形内，设其底边为x，高为0.03，课前预习课堂互动课堂反馈(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.所以平均成绩为：45×(0.005×10)＋55×(0.015×10)＋65×(0.020×10)＋75×(0.030×10)＋85×(0.025×10)＋95×(0.005×10)＝72.∴成绩的平均分为72.∴令0.03x＝0.1，解得x＝103＝313，故成绩的中位数为7313.课前预习课堂互动课堂反馈【探究2】某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：g)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为________.课前预习课堂互动课堂反馈答案90解析产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，则36n＝0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.课前预习课堂互动课堂反馈【探究3】某校高三数学竞赛