2016届高考数学大一轮复习 第5章 第1节 数列的概念及简单表示法课件 文 新人教版

第五章数列第一节数列的概念及简单表示法考纲要求：1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数[基础真题体验]考查角度[递推公式]1．(2014·课标全国卷Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝11－an，a8＝2，则a1＝________.【解析】∵an＋1＝11－an，∴an＋1＝11－an＝11－11－an－1＝1－an－11－an－1－1＝1－an－1－an－1＝1－1an－1＝1－111－an－2＝1－(1－an－2)＝an－2，∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.而a2＝11－a1，∴a1＝12.【答案】12考查角度[由Sn求an]2．(2014·江西高考改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－n2，n∈N*，则an＝________.【解析】由Sn＝3n2－n2得a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，a1也符合上式，故an＝3n－2.【答案】3n－23．(2013·课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝________.【解析】当n＝1时，S1＝23a1＋13，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝23an＋13－23an－1＋13＝23(an－an－1)，∴an＝－2an－1，即anan－1＝－2，∴{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2，∴an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.【答案】(－2)n－1[命题规律预测]命题规律从近几年高考题来看，数列的概念及表示法是必考内容之一，尤其是根据an和Sn的关系求an以及由递推公式求通项公式，更是高考热点．题型以选择、填空题为主，难度中档及以上，注重能力考查．考向预测预测2016年高考仍将延续近几年命题特点，对由an与Sn的关系求通项公式及递推公式的应用将进一步提高要求，以达到考查数列中函数思想的目的.考向一由数列的前n项归纳数列的通项公式[典例剖析]【例1】写出下列数列的一个通项公式：(1)1,3,5,7，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；(4)9,99,999,9999，….【思路点拨】分析各数列中已知项的数字特征的共性，并结合常见的描述方法写出通项公式．【解】(1)这个数列的前4项都是序号的2倍减去1，所以它的一个通项公式为an＝2n－1.事实上，该数列是由连续的正奇数组成的．(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n1nn＋1.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式为an＝a，n为奇数，b，n为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1000－1,10000－1，所以它的一个通项公式为an＝10n－1.由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略：(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况；可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．[对点练习]根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，….【解】(1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)数列变为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴an＝891－110n.(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴an＝(－1)n·2n－32n.考向二由an与Sn的关系求通项公式an[典例剖析]【例2】(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，求通项公式an.(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝－12n2＋kn，k∈N*，且Sn的最大值为8，求{an}的通项公式an.【思路点拨】(1)分两种情况分别求an，再验证a1是否满足an(n≥2)．(2)先计算出k的值，得到Sn关于n的表达式，再仿照(1)题的方法解答．【解】(1)当n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1∴an＝1，n＝1，2·3n－1，n≥2.(2)因为Sn＝－12n2＋kn＝－12(n－k)2＋12k2，其中k是常数，且k∈N*，所以当n＝k时，Sn取最大值12k2，故12k2＝8，k2＝16，因此k＝4，从而Sn＝－12n2＋4n.当n＝1时，a1＝S1＝－12＋4＝72；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－12n2＋4n－－12n－12＋4n－1＝92－n.当n＝1时，92－1＝72＝a1，所以an＝92－n.已知{an}的前n项和Sn，求an时应注意以下三点：(1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论；特别注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.(2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，若a1也适合“an”式，则“合写”．(3)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，若a1不适合“an”式，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.[对点练习]已知下面各数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．(1)Sn＝3n2－2n＋1；(2)Sn＝3n＋b.【解】(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5.由于a1＝2不适合此等式，∴an＝2，n＝1，6n－5，n≥2.(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1(n∈N*)；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.考向三由递推关系求通项公式【命题视角】递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．归纳起来常见的命题角度有：(1)形如an＋1＝anf(n)，求an；(2)形如an＋1＝an＋f(n)，求an；(3)形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.角度一：形如an＋1＝anf(n)，求an【例3－1】(2012·大纲全国卷)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝n＋23an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．【思路点拨】消去Sn，可得an与an－1的递推关系，用累乘法可求通项公式．【解】(1)由S2＝43a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.由S3＝53a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝32(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.当n1时，有an＝Sn－Sn－1＝n＋23an－n＋13an－1，整理得an＝n＋1n－1an－1.于是a2＝31a1，a3＝42a2，…，an－1＝nn－2an－2，an＝n＋1n－1an－1.将以上n－1个等式中等号两端分别相乘，整理得an＝nn＋12.综上可知，{an}的通项公式an＝nn＋12(n∈N*)．形如an＋1＝an·f(n)的形式求an，常变形为：an＋1an＝f(n)后，依次递推，再用累乘法解决．角度二：形如an＋1＝an＋f(n)，求an.【例3－2】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n，求an.【思路点拨】求an＋1－an，利用累加法求解．【解】由an＋1－an＝2n，把n＝1,2,3，…，n－1(n≥2)代入，得(n－1)个式子，累加即可得(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an－a1＝21－2n－11－2，即an－a1＝2n－2，所以an＝2n－2＋a1＝2n－1.当n＝1时，a1＝1也符合，所以an＝2n－1(n∈N*)．形如an＋1＝an＋f(n)的形式，求an，常变形为：an＋1－an＝f(n)后，依次递推，再用累加法解决．角度三：形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.【例3－3】在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋1.求数列{an}的通项公式．【思路点拨】利用an＋1＋1＝2(an＋1)构造新的等比数列求解．【解】由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列．所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1，所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N*)．形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)的形式，求an，常先化为an＋1＋p＝A(an＋p)(p∈R)的形式，进而转化为等比数列求解．思想方法10数列问题中的函数思想数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于运用函数的知识、观点和思想来解题，即用共性来解决特殊问题．本节在判断数列是递增数列或递减数列时，常将数列转化为函数，利用函数的图象或对函数求导的方法来判断；在求数列中最大项或最小项时也常借用函数的单调性来解决．[典例剖析]【典例】已知数列{an}．(1)若an＝n2－5n＋4.①数列中有多少项是负数？②n为何值时，an有最小值？并求出最小值．(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1＞an成立．求实数k的取值范围．【解】(1)①由题意知，n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.②∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94，∴对称轴方程为n＝52.又n∈N*，∴当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.(2)由an＋1＞an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－k2＜32，即得k＞－3.[对点练习]已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1·(an＋2)＝an(n∈N*)，若bn＋1＝(n－p)1an＋1，b1＝－p，且数列{bn}是单调递增数列，则实数p的取值范围为________．【解析】由题中条件，可得1an＋1＝2an＋1，则1an＋1＋1＝21an＋1，易知1a1＋1＝2≠0，则1an＋1＝2n，可得bn＋1＝2n(n－p)，则bn＝2n－1(n－1－p)(n∈N*)，由数列{bn}是单调递增数列，得2n(n－p)＞2n－1(n－1－p)，则p＜n＋1恒成立，又n＋1的最小值为2，则p的取值范围是(－∞，2)．【答案】(－∞，2)课堂达标训练1．已知数列32，54，76，9a－b，a＋b10，…，根据前三项给出的规律，则实数对(a，b)可能是()A．(19,3)B．(19，－3)C.192，32D.192，－32【解析】由数列前n项规律知，a－b＝8，a＋b＝11，∴a＝192，b＝32，∴(a，b)为192，32【答案】C2．设Sn是数列{an}的前n项