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第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考纲要求：1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．[基础真题体验]考查角度[求目标函数的最值]1．(2014·课标全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件x＋y－7≤0，x－3y＋1≤0，3x－y－5≥0，则z＝2x－y的最大值为()A．10B.8C．3D．2【解析】画出可行域如图所示．由z＝2x－y，得y＝2x－z，欲求z的最大值，可将直线y＝2x向下平移，当经过区域内的点，且满足在y轴上的截距－z最小时，即得z的最大值，如图，可知当过点A时z最大，由x＋y－7＝0，x－3y＋1＝0，得x＝5，y＝2，即A(5,2)，则zmax＝2×5－2＝8.【答案】B2．(2014·天津高考)设变量x，y满足约束条件x＋y－2≥0，x－y－2≤0，y≥1，则目标函数z＝x＋2y的最小值为()A．2B．3C．4D．5【解析】根据约束条件作出可行域，如图阴影部分所示．由z＝x＋2y，得y＝－12x＋z2.先画出直线y＝－12x，然后将直线y＝－12x进行平移．当直线过点A时，z取得最小值．由y＝1，x＋y－2＝0得A(1,1)，故z最小值＝1＋2×1＝3.【答案】B3．(2013·课标全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x＋y－1≥0，x≤3，则z＝2x－3y的最小值是()A．－7B．－6C．－5D．－3【解析】作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z＝2x－3y过点C时，z取得最小值．由x＝3，x－y＋1＝0，得x＝3，y＝4，∴zmin＝2×3－3×4＝－6，故选B.【答案】B4．(2012·课标全国卷)设x，y满足约束条件x－y≥－1，x＋y≤3，x≥0，y≥0，则z＝x－2y的取值范围为________．【解析】作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示，作直线x－2y＝0，并向左上，右下平移，当直线过点A时，z＝x－2y取最大值；当直线过点B时，z＝x－2y取最小值．由x－y＋1＝0，x＋y－3＝0，得B(1,2)，由y＝0，x＋y－3＝0，得A(3,0)．∴zmax＝3－2×0＝3，zmin＝1－2×2＝－3，∴z∈[－3,3]．【答案】[－3,3][命题规律预测]命题规律从近几年高考试题看，二元一次不等式(组)表示的平面区域，求线性目标函数的最值是高考命题的热点，常以选择题、填空题形式呈现，难度中低档，以考查可行域的画法，目标函数最值的求法，确定参数的值域范围为主要命题方向，体现数形结合的思想方法．考向预测预测2016年高考仍将延续近几年的命题思想，对约束条件、目标函数中参变量的取值问题要格外注意.考向一二元一次不等式(组)表示的平面区域[典例剖析]【例1】(1)不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面积等于()A.32B.23C.43D.34(2)若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A．a≥43B．0＜a≤1C．1≤a≤43D．0＜a≤1或a≥43【思路点拨】(1)画出不等式组表示的平面区域，确定平面区域的形状后求出面积．(2)先画出不含a的不等式构成的不等式组表示的平面区域，然后平移直线x＋y＝a，观察与原不等式组围成的平面区域是否构成三角形，从而得到参数a的范围．【解析】(1)平面区域如图阴影部分，解x＋3y＝43x＋y＝4得A(1,1)，易得B(0,4)，C0，43，|BC|＝4－43＝83，∴S△ABC＝12×83×1＝43.(2)不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解y＝x，2x＋y＝2，得A23，23；解y＝0，2x＋y＝2，得B(1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中的a的取值范围是0＜a≤1或a≥43.【答案】(1)C(2)D1．二元一次不等式(组)表示的平面区域的判断方法：直线定界、测试点定域(注意直线的实、虚)．2．二元一次不等式(组)表示的平面区域的应用题型及解题方法：(1)求面积问题：先画出平面区域，判断其形状，再求得相应的交点坐标、相关的线段长度等，借助面积公式求解．(2)求参数问题：根据区域形状判断动直线的位置，从而确定参数的值域范围．[对点练习](1)(2014·安徽高考)不等式组x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________．(2)已知关于x，y的不等式组0≤x≤2，x＋y－2≥0，kx－y＋2≥0所表示的平面区域的面积为4，则k的值为________．【解析】(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由x＋3y－2＝0，x＋2y－4＝0得A(8，－2)．由x＋y－2＝0得B(0,2)．又|CD|＝2，故S阴影＝12×2×2＋12×2×2＝4.(2)平面区域kx－y＋2≥0是含有坐标原点的半平面，直线kx－y＋2＝0又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解．平面区域如图所示，根据平面区域面积为4，得A(2,4)，代入直线方程，得k＝1.【答案】(1)4(2)1考向二求目标函数的最值【命题视角】线性规划问题以其独特的表达形式成为不等式部分的重要内容，线性规划中，通过最优解求参数的值或范围问题是高考命题的亮点与热点，作为不等式的重要组成部分，高考中常以选择题、填空题的形式出现，解答题偶尔也会考查．归纳起来常见以下三种命题角度：角度一：求线性目标函数的最值【例2－1】(2014·北京高考)若x，y满足y≤1，x－y－1≤0，x＋y－1≥0，则z＝3x＋y的最小值为________．【思路点拨】画出不等式组表示的平面区域，明确目标函数z的几何意义，用数形结合法求最小值．【解析】由线性约束条件画出可行域为如图所示的△ABC内部区域(包括边界)．由z＝3x＋y变形得y＝－3x＋z，作直线l：y＝－3x并平移，当直线平移至过点A(0,1)时，z取得最小值，且最小值z＝3×0＋1＝1.【答案】1解题的一般步骤归纳为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．角度二：求非线性目标函数的最值【例2－2】(2014·福建高考)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x＋y－7≤0，x－y＋3≥0，y≥0.若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为()A．5B.29C．37D．49【思路点拨】先作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义转化为求距离的平方的最大值．【解析】作出可行域，如图，由题意知，圆心为C(a，b)，半径r＝1，且圆C与x轴相切，所以b＝1.而直线y＝1与可行域的交点为A(6,1)，B(－2,1)，目标函数z＝a2＋b2表示点C到原点距离的平方，所以当点C与点A重合时，z取到最大值，zmax＝37.【答案】C根据目标函数的几何意义等价转化，常见类型：(1)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(2)斜率型：形如z＝y－bx－a.角度三：求线性规划中的参数【例2－3】(2014·北京高考)若x，y满足x＋y－2≥0，kx－y＋2≥0，y≥0，且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为()A．2B．－2C.12D．－12【思路点拨】作出可行域，平移直线y＝x，由z的最小值为－4，求出参数k的值．【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx－y＋2＝0与x轴的交点为A－2k，0.∵z＝y－x的最小值为－4，∴2k＝－4，解得k＝－12，故选D.【答案】D先利用约束条件作出可行域，通过分析可行域及目标函数确定取最优解的点，再利用已知可解得参数．考向三线性规划的实际应用[典例剖析]【例3】某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨)电(千瓦)A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？【思路点拨】题目的设问是“该企业如何安排生产，才能获得最大利润”，这个利润是由两种产品的利润所决定的，因此A，B两种产品的生产数量决定着该企业的总利润，故可以设出A、B两种产品的生产数量，列不等式组和建立目标函数．【解】设生产A，B两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，依题意，得目标函数为z＝7x＋12y.作出可行域，如图阴影所示．当直线7x＋12y＝0向右上方平行移动时，经过M时z取最大值．解方程组因此，点M的坐标为(20,24)．∴该企业生产A，B两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．求解线性规划应用题的注意点：(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[对点练习](2013·湖北高考)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元【解析】设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1600x＋2400y，则约束条件为作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin＝36800(元)．【答案】C误区分析10线性规划问题中忽视参数范围致误[典例剖析]【典例】(2014·课标全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件x＋y≥a，x－y≤－1，且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝()A．－5B．3C．－5或3D．5或－3【解析】当a＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．误区：解题时，常常因不会对参数值进行讨论而感到无从下手或对解出的值不会取舍．由x－y＝－1x＋y＝－5得交点A(－3，－2)，则目标函数z＝x－5y过A点时取得最大值．zmax＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A，C选项．当a＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．由x－y＝－1x＋y＝3得交点B(1,2)，则目标函数z＝x＋3y过B点时取得最小值．zmin＝1＋3×2＝7，满足题意．【答案】B【防范措施】线性规划问题常常会在目标函数或约束条件中含有参数，当目标函数中含参数时，参数的不同取值将要影响到最优解的位置，因此要根据可行域边界直线的斜率与目标函数对应直线斜率的大小关系，对参数的取值情况进行讨论，在运动变化中寻找问题成立的条件，从而得到函数的取值；如果在约束条件中含有参数，那么随参数的变化，可行域的形状会变化，因此在求解时要根据参数的取值对可行域的各种情况进行分类讨论，以免漏解．[对点练习]已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为________．【解析】由约束条件画出可行域(如图)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在y轴上的截距最大，∴－a＜kCD，即－a＜－1，∴a＞1.【答案】a＞1课堂达标训练1．已知点P1(0,0)，P2(1,1)，P313，0，则在3x＋2y－1≥0表示的