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第二讲带电粒子在磁场中的圆周运动真题模拟体验名师诠释高考12341.(多选)(2015四川理综,7)如图所示,S处有一电子源,可向纸面内任意方向发射电子,平板MN垂直于纸面,在纸面内的长度L=9.1cm,中点O与S间的距离d=4.55cm,MN与SO直线的夹角为θ,板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度B=2.0×10-4T.电子质量m=9.1×10-31kg,电荷量e=-1.6×10-19C,不计电子重力.电子源发射速度v=1.6×106m/s的一个电子,该电子打在板上可能位置的区域的长度为l,则()A.θ=90°时,l=9.1cmB.θ=60°时,l=9.1cmC.θ=45°时,l=4.55cmD.θ=30°时,l=4.55cm解析:由evB=𝑚𝑣2𝑅,知R=4.55cm.由左手定则可知,电子在磁场中逆时针做圆周过动,且S为圆周上的一点.当θ≤90°时,S发出的电子中一定有电子打在N点.若电子打在板上的区域长度l=4.55cm,则电子最远只能打到板右侧的O点处,且𝑆𝑂与MN相切,即O1O⊥MN,设此时圆心为O1,如图甲所示,因有O1O=O1S=OS=4.55cm,则∠O1OS=60°,那么θ=30°,C项错误,D项正确;若电子打在板上的区域长度l=9.1cm,则电子最远可打到板右侧M点处,且𝑆𝑀与MN相切,即O2M⊥MN.设此时圆心为O2,如图乙所示,因为O2S=O2M=OM=OS=4.55cm,则SO⊥MN,那么θ=90°,A项正确,B项错误.答案:AD真题模拟体验名师诠释高考1234真题模拟体验名师诠释高考12342.(2015重庆理综,9)如图为某种离子加速器的设计方案.两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场.其中MN和M'N'是间距为h的两平行极板,其上分别有正对的两个小孔O和O',O'N'=ON=d,P为靶点,O'P=kd(k为大于1的整数).极板间存在方向向上的匀强电场,两极板间电压为U.质量为m、电荷量为q的正离子从O点由静止开始加速,经O'进入磁场区域.当离子打到极板上O'N'区域(含N'点)或外壳上时将会被吸收.两虚线之间的区域无电场和磁场存在,离子可匀速穿过.忽略相对论效应和离子所受的重力.求:(1)离子经过电场仅加速一次后能打到P点所需的磁感应强度大小;(2)能使离子打到P点的磁感应强度的所有可能值;(3)打到P点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间.真题模拟体验名师诠释高考1234解析:(1)离子进入磁场时速度为v,根据动能定理得Uq=12mv2离子在磁场中做匀速圆周运动的半径R=𝑘𝑑2洛伦兹力提供向心力,有Bqv=𝑚𝑣2𝑅解得B=22𝑈𝑞𝑚𝑞𝑘𝑑.(2)设离子经过电压加速n次能打到P点,打到P点时的速度为vn,可得nUq=12𝑚𝑣𝑛2洛伦兹力提供向心力,有Bnqvn=𝑚𝑣𝑛2𝑅解得Bn=22𝑛𝑈𝑞𝑚𝑞𝑘𝑑真题模拟体验名师诠释高考1234由于n取值越大,离子首次进入磁场时的运动半径越小,当离子打到极板上O'N'区域(含N'点)时将会被吸收,因此离子首次做圆周运动的半径R1𝑑2.由Uq=12𝑚𝑣12,qBnv1=m𝑣12𝑅1,Bn=22𝑛𝑈𝑞𝑚𝑞𝑘𝑑得R1=𝑘𝑑2𝑛𝑑2解得nk2,因k为整数,则n最大值为k2-1,综上可知,磁感应强度的所有可能值为Bn=22𝑛𝑈𝑞𝑚𝑞𝑘𝑑(n=1,2,3,…,k2-1).真题模拟体验名师诠释高考1234(3)离子加速n次时打到P点的能量最大,在磁场中需经过时间t1=(2𝑛-1)𝑇2到达P点,其中n=k2-1.T=2π𝑚𝑞𝐵𝑛,Bn=22𝑛𝑈𝑞𝑚𝑞𝑘𝑑=22(𝑘2-1)𝑈𝑞𝑚𝑞𝑘𝑑解得t1=(2𝑘2-3)π𝑚𝑘𝑑22𝑈𝑞𝑚(𝑘2-1)在电场中离子从静止开始到加速到vn,可等效为匀加速运动过程,位移为nh,则nh=𝑣𝑛𝑡22,n=k2-1,nUq=12𝑚𝑣𝑛2,可得t2=h2(𝑘2-1)𝑚𝑈𝑞.真题模拟体验名师诠释高考1234答案:(1)磁感应强度大小:22𝑈𝑞𝑚𝑞𝑘𝑑(2)磁感应强度的所有可能值:22𝑛𝑈𝑞𝑚𝑞𝑘𝑑,(n=1,2,3,…,k2-1)(3)在磁场中运动的时间:(2𝑘2-3)π𝑚𝑘𝑑22𝑈𝑞𝑚(𝑘2-1)在电场中运动的时间:h2(𝑘2-1)𝑚𝑈𝑞真题模拟体验名师诠释高考12343.(多选)(2013广东理综,21)如图,两个初速度大小相同的同种离子a和b,从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场,最后打到屏P上.不计重力,下列说法正确的有()A.a、b均带正电B.a在磁场中飞行的时间比b的短C.a在磁场中飞行的路程比b的短D.a在P上的落点与O点的距离比b的近解析:由左手定则可判断粒子a、b均带正电,选项A正确;由于是同种粒子,且粒子的速度大小相等,所以它们在匀强磁场中做圆周运动的轨迹半径R=𝑚𝑣𝑞𝐵相同,周期T=2π𝑚𝑞𝐵也相同,画出粒子的运动轨迹图可知,b在磁场中运动轨迹是半个圆周,a在磁场中运动轨迹大于半个圆周,选项A、D正确.答案:AD真题模拟体验名师诠释高考1234真题模拟体验名师诠释高考12344.(2013课标全国Ⅱ,17)空间有一圆柱形匀强磁场区域,该区域的横截面的半径为R,磁场方向垂直于横截面.一质量为m、电荷量为q(q0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场,离开磁场时速度方向偏离入射方向60°.不计重力,该磁场的磁感应强度大小为()A.3mv03qRB.mv0qRC.3mv0qRD.3mv0qR根据题意作出粒子运动的轨迹如图所示,由几何关系可得,粒子运动的半径r=3R,根据粒子受到的洛伦兹力提供向心力可得qv0B=m𝑣02𝑟,解得B=3𝑚𝑣03𝑞𝑅,A项正确.答案:A真题模拟体验名师诠释高考1234解析:真题模拟体验名师诠释高考本讲是高考命题的热点.其问题综合性强,要求具有较高的运用数学几何等知识处理物理问题的能力.因而,这类问题多以计算题形式出现,也往往是压轴题.本专题侧重于考查带电粒子在有界磁场的圆周运动,主要题型:一、带电粒子在边界为直线、圆的磁场中的圆周运动的基本问题及临界、极值问题;二、具有速度大小相同方向不同或速度大小不同方向相同的一簇粒子在磁场中的圆周运动.考点一考点二考点三考点一带电粒子在边界为直线的磁场中的圆周运动带电粒子在匀强磁场中的运动规律(不计其他力的作用)1.若v⊥B,则粒子做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力.即:(1)qvB=ma=𝑚𝜔2𝑅𝑚𝑣2𝑅⇒𝑅=𝑚𝑣𝑞𝐵4𝑚π2𝑅𝑇2(2)周期T=2π𝑅𝑣=2π𝑚𝑞𝐵(与v、R无关)考点一考点二考点三2.分析方法:概括为“定圆心,画轨迹,求半径”.(1)圆心的确定.圆心的确定一般有以下四种情况:①已知粒子运动轨迹上两点的速度方向,作这两速度的垂线,交点即为圆心.②已知粒子入射点、入射方向及运动轨迹上的一条弦,作入射速度方向的垂线及弦的垂直平分线,交点即为圆心.③已知粒子运动轨迹上的两条弦,作出两弦垂直平分线,交点即为圆心.④已知粒子在磁场中的入射点、入射方向和出射方向(不一定在磁场中),延长(或反向延长)两速度方向所在直线使之成一夹角,作出这一夹角的角平分线,角平分线上到两直线距离等于半径的点即为圆心.考点一考点二考点三(2)半径的确定和计算.①由两半径和弦等构成的三角形确定.注意几个角度的关系:如图所示,a.粒子速度的偏向角(φ)等于回旋角(α),并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍,即φ=α=2θ=ωt.b.相对的弦切角(θ)相等,与相邻的弦切角(θ')互补,即θ+θ'=180°.②由公式R=𝑚𝑣𝑞𝐵确定粒子圆周运动的半径.(3)在磁场中运动时间的确定.①利用圆弧对应的圆心角求:t=𝜃2πT.②利用弧长与线速度求:t=𝑠𝑣.考点一考点二考点三如图,在0≤x≤3a区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场,磁感应强度的大小为B.在t=0时刻,一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子,所有粒子的初速度大小相同,方向与y轴正方向的夹角分布在0°~180°范围内.已知沿y轴正方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界上P(3a,a)点离开磁场.求:(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷𝑞𝑚;(2)此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围;(3)从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间.解析:(1)初速度与y轴正方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图中的弧𝑂𝑃所示,其圆心为C.由题给条件可以得出∠OCP=2π3,此粒子飞出磁场所用的时间为t0=𝑇3式中T为粒子做圆周运动的周期.设粒子运动速度的大小为v,半径为R,由几何关系可得R=23a=233a由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有qvB=m𝑣2𝑅T=2π𝑅𝑣联立,得𝑞𝑚=2π3𝐵𝑡0.考点一考点二考点三考点一考点二考点三(2)依题意,同一时刻仍在磁场内的粒子到O点距离相同.在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O点为圆心、OP为半径的弧𝑀𝑁上,如解析(1)中图所示.设此时位于P、M、N三点的粒子的初速度分别为vP、vM、vN.由对称性可知vP与OP、vM与OM、vN与ON的夹角均为π3.设vM、vN与y轴正向的夹角分别为θM、θN,由几何关系有θM=π3θN=2π3对于所有此时仍在磁场中的粒子,其初速度与y轴正方向所成的夹角θ应满足π3≤θ≤2π3.(3)在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切,其轨迹如图所示.由几何关系可知𝑂𝑀=𝑂𝑃由对称性可知𝑀𝐸=𝑂𝑃从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间tmax=2t0.答案:(1)233a2π3𝐵𝑡0(2)π3≤θ≤2π3(3)2t0考点一考点二考点三考点一考点二考点三考点一考点二考点三考点一考点二考点三对点训练11.(多选)(2015江苏南通二模)如图所示,在xOy平面的第Ⅰ象限内存在垂直xOy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场,两个相同的带电粒子以相同的速度v0先后从y轴上坐标(0,3L)的A点和B点(坐标未知)垂直于y轴射入磁场,在x轴上坐标(,0)的C点相遇,不计粒子重力及其相互作用.根据题设条件可以确定()A.带电粒子在磁场中运动的半径B.带电粒子的电荷量C.带电粒子在磁场中运动的时间D.带电粒子的质量3L考点一考点二考点三解析:已知粒子的入射点及入射方向,同时已知圆上的两点,根据入射点速度相互垂直的方向及AC连线的中垂线的交点即可明确粒子运动轨迹的圆心位置;由几何关系可知AC长为23L,∠BAC=30°,则R=3𝐿cos30°=2L,因两粒子的速度相同,且是同种粒子,则可知,它们的半径相同,即两粒子的半径均可求出,同时根据几何关系可知A对应的圆心角为120°,B对应的圆心角为30°,即可确定对应的圆心角,则由t=𝑙𝑣0可以求得转动的时间,故A、C正确;由于不知磁感应强度,故无法求得比荷,更不能求出电荷量或质量,故B、D错误.答案:AC考点一考点二考点三2.(多选)如图所示,有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场,磁感应强度为B,其边界为一边长为L的正三角形,A、B、C为三角形的三个顶点.若一质量为m、电荷量为+q的粒子(不计重力),以速度v0=3𝑞𝐵𝐿4𝑚从AB边上的某点P垂直于AB边竖直向上射入磁场,然后能从BC边上的某点Q射出.关于P点入射的范围和从Q点射出的范围,下列判断正确的是()A.PB2+34LB.PB1+34LC.QB34LD.QB≤12L粒子在磁场中匀速圆周运动的半径R=𝑚𝑣0𝐵𝑞=34L,如图所示,当P点在最左端时,粒子运动轨迹与AC、BC两边相切,PB间的最大距离小于BO+R,即PB𝐿2+34L=2+34L,选项A正确,B错误;当轨迹