153.1变化率与导数

3.1变化率与导数为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数.随着对函数的研究的不断深化，在十七世纪中叶产生了微积分，它是数学史上继欧式几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二、求曲线的切线；三、求函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等.几百年中，科学家们对这些问题的兴趣与研究经久不衰.终于，在十七世纪中叶，牛顿和莱布尼兹在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分.（1646.7.1—1716.11.14）（1643.1.4—1727.3.31）牛顿、莱布尼兹发明微积分：自笛卡儿创立解析几何之后，变量进入数学。下一个划时代的数学成就便是微积分的诞生。费尔玛是最早应用了微分学方法的一位学者。1629年，他在《求最大值最小值的方法》一文中，用一个例子说明他的方法。问题是：已知一条线段，要求出其上一点，使被该点分成的直线段的两部分，所构成的矩形面积最大。他设线段长为B，一部分为A，另一部分为B-A，矩形面积为AB-A2,然后用A+E代A,令一部分为B-A-E,矩形面积遂成为（A+E）(B-A-E).费尔玛认为，当A的长度恰为最大值时，这两个值应相等（运用了几何观察），即（A+E）(B-A-E)＝AB-A2。这可整理为BE-2AE-E2=0,约去E，得B＝2A＋E，略去E，得B=2A。这就是说正方形将获得最大面积。这一想法，与微分学的想法非常接近。英国数学家巴罗，是牛顿的老师。他提出用微分三角形来求切线，其基本思想和费尔玛差不多，也是先将x扩充为x+,然后带入函数，最后再略去。xx积分学的工作，由求面积开始。阿基米德就求过抛物线下的弓形面积。刘徽的割圆术，也是同一思想。更有系统的工作的由开普勒，把曲边形看边数无限增大的直线形，圆的面积就是无穷多个三角形的面积之和。意大利数学家卡瓦列里把曲线看成无限多条线段拼成的。这些，都为微积分学的诞生做了思想上的准备。牛顿关于微积分的手稿表明，他在1665年已经用“0”表示无限小增量，求出瞬时变化率。后来，牛顿把变量x称为流量，x的瞬时变化率称为流数，整个微积分学就称为流数术。1687年牛顿发表了他的巨著《自然哲学的数学原理》，该书是第一本公开载有牛顿微积分思想的书。他的第一部关于微积分的专著《运用无穷多项的分析学》发表在1669年。莱布尼兹在1675年到1676年间发明了无穷小算法。他通过几何上求曲线切线的研究得到一般的微分理论。把切线斜率看成是无限小增量dy和dx之比。他引用符号表示变量的求和过程，并看到d和是互逆的运算。1676年，他给出了一般性的法则：1,)(11nxdxxdxnxxdnnnn牛顿从力学着眼，考虑变量的运动速度——流数。莱布尼兹则从几何上入手，偏重运算法则的探讨。他发明的符号d和一直沿用至今。牛顿、莱布尼兹超越前人的贡献，不是在于发现求切线和求面积的具体方法，而是给出了一般的无穷小算法，同时又找出了微分和积分之间的互逆关系。这一深刻的思想，已成为人类文明中的瑰宝。导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.本章我们将利用丰富的背景与大量实例，学习导数的基本概念与思想方法.问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是34()3Vrr如果将半径r表示为体积V的函数,那么33()4VrV思考:这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况？我们来分析一下:当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)(/)100.62rrdmL(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/)210.16rrdmL显然0.620.1633()4VrV随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?2121()()rVrVVV问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?hto请计算00.52:ttv和1时的平均速度htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10(0.5)(0)00.54.05(/)0.50(2)(1)28.2(/)21hhtvmshhtvms在这段时间里，在1这段时间里，平均变化率定义:若设Δx=x2-x1,Δf=f(x2)-f(x1)则平均变化率为121)()fxxx2f(xfx121)()fxxx2f(x这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)上述问题中的变化率可用式子表示称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率1、式子中△x、△y的值可正、可负，但△x的值不能为0，△y的值可以为0xy2、若函数f(x)为常函数时，△y=0理解xxfxxfxxxfxf)()()()(1112123、变式:2121()()yfxfxxxx1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率1212)()(yxxxfxfx1212)()(yxxxfxfx观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?思考xyoBx2f(x2)Ax1f(x1)f(x2)-f(x1)x2-x1直线AB的斜率y=f(x)2121()()yfxfxxxx例(1)计算函数f(x)=2x+1在区间[–3,–1]上的平均变化率；(2)求函数f(x)=x2+1的平均变化率。(1)解：△y=f(-1)-f(-3)=4△x=-1-(-3)=2422yx(2)解：△y=f(x+△x)-f(x)=2△x·x+(△x)222()2yxxxxxxx练习3.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=()A.3B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-ΔxD2.t2质点运动规律s=t+3,则在时间(3,3+t)中相应的平均速度为()9A.6+tB.6+t+C.3+tD.9+tA做两个题吧!1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=()A、3B、3Δx-(Δx)2C、3-(Δx)2D、3-ΔxD2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.2x0+Δx练习：5.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率1212)()(yxxxfxfx1212)()(yxxxfxfx?,?,.).tan(.,时的瞬时速度是多少比如度呢如何求运动员的瞬时速那么度在某时刻的瞬时速她他度不一定能反映运动员的平均速的速度称为我们把物体在某一时刻是不同的度运动员在不同时刻的速在高台跳水运动中2tvelociyeousins瞬时速度.,,,.,;,.,,,,,.可以得到如下表格内平均速度和区间计算区间之后在时当之前在时当但不为也可以是负值正值可以是是时间的改变量任意取一个时刻之前或之后在附近的情况我们先考察vtttttttttt22222202200222二．新课讲授1．瞬时速度△t0时,在[2+△t,2]这段时间内△t0时,在[2,2+△t]这段时间内1.139.4tv1.139.4tv13.051v当△t=–0.01时,13.149v当△t=0.01时,0951.13v当△t=–0.001时,1049.13v当△t=0.001时,13.09951v当△t=–0.0001时,13.10049v当△t=0.0001时,099951.13v△t=–0.00001,100049.13v△t=0.00001,13.0999951v△t=–0.000001,13.1000049v△t=0.000001,…………105.69.4)(2ttth当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?..,,,,1132220个确定的值平均速度都趋近于一时一边趋近于还是从大于的一边从小于即无论时趋近于当我们发现tt./.,.,||,smttvt11322时的瞬时速度是员在运动因此时的瞬时速度就无限趋近于速度平均无限变小时时间间隔从物理的角度看..,,.lim,11302113220定值趋近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便vttththt..时的极限趋近于当是我们称确定值022113tthth定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是xxxfxxfxxylim)()Δ(lim0000称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作0000(Δ)()()lim.xfxxfxfxx)(0xf或,即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(.1xxxf的具体取值无关。与xxf)(.20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同.3由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:1.求函数的改变量2.求平均变化率3.求值);()(00xfxxfy.lim)(00xyxfx;)()(00xxfxxfxy一差、二比、三极限例1.求y=x2在点x=1处的导数．解：222)(21)1(xxxyxxxxxy2)(222|2)2(limlim1'00xxxyxxyf(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算x=2和x=6时的导数.xfxf)2()2(根据导数的定义,37)(42xxxxx所以,.3)3(limlim)2(00xxffxx同理可得.5)6(f由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:00(1)()();yfxxfx求函数的增量00()()(2);fxxfxyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx取极限，得导数00()()()limlimxxyfxxfxfxyxx在不致发生混淆时，导函数也简称导数．000()()()()().yfxxfxfxfxx函数在点处的导数等于函数的导函数在点处的函数值什么是导函数?由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f’(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,f’(x0)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:)2('),1('),(',)(12ffxfxxf求：设例的值代入求得导数值。再将自变量义求思路：先根据导数的定),('xfxxxxxxxxx