二项式定理典型习题

二项式定理:二项式展开的通项:温故而知新011222nnn-n-nnnabCaCabCab11n-n-nnnnCabCb1rn-rrrnTCab1r第项题型1利用的二项展开式解题nab例1求的展开式.413xx413解：xx4231xx04421[(3)Cxx134(3)Cx224(3)Cx314(3)Cx44]C43221(8110854121)xxxxx221218110854xxxx题型2利用通项求符合要求的项或项的系数例2.求展开式中的有理项.93xx解:019(,)r，，原式的有理项为:1132919()()rrrrTCxx2769(1)rrrCx276由，rZ27346rr时，，39rr或，99331091()TCxx，27936rr时，，334449184()TCxx，4341084.TxTx，题型3二项式定理的逆用例3.计算并求值:解(1):将原式变形12543211242215110110151();()()()()()().nnnnnCCCxxxxx011222112122nnnnnnnnnCCCC原式123()nn0514233255554511111()()()()()CxCxCxCxCx原式51x(2):将原式变形5555CC5111[()]x逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点,也是重点,只有熟练掌握公式的正用,才能掌握逆向应用和变式应用.点评:题型4求多项式的展开式中特定的项(系数)法（2）运用等比数列求和公式得：的展开式中,的系数等于___________.2345411111.()()()()()xxxxx例2x分析：法(一):20122332345=111()()()xCCCC的系数20511111()[()]()xxx原式611()()xxx236=-C20.x的系数例5.求展开式中的系数.42831211213()()()xxxxxx4x4x分析：可逐项求出的系数.求复杂的代数式的展开式中某项(某项的系数),可以逐项分析求解,常常对所给代数式进行化简,可以减小计算量.点评:题型5求展开式中各项系数和展开式各项系数和为：求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项式中的字母为1.例6.的展开式的各项系数和为____.221()nx22210121()()nnnnxaxaxa分析：设，012naaaa1,x令得012=(2-1)1.nnaaaa点评：题型6：求奇数(次)项偶数(次)项系数的和776016713570246012731123(),();();()xaxaxaxaaaaaaaaaaaaa例7.已知求:731:()()fxx解令，01271()faaaa，012371()faaaaa，77135721124()()()aaaaff，6131357228128aaaa；02468256.aaaa同理求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等式，再根据结果求值.13573(),,,aaaa是负数，0127aaaa0127aaaa0127()aaaa714()()f74点评:题型7求乘积二项式展开式中特定的项(特定项的系数)例8.求的展开式中项的系数.65121()()xx6x61()x分析：的通项为：62666()rrrrCxCx521()x的通项为：555552112()()()sssssssCxCx65121()()xx的通项为：162255612()rssrssCCx由题意知16226，rs解得240605(,)rsrs024210rrrsss或或620231240405565656121212()()()xCCCCCC的系数为：640.对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算.点评:题型8三项式转化为二项式2532()xxx例9.的展开式中的系数是________.251532rrrrTC(xx)分析:2555532rsrsrrrCC(x)(x)51025532rrrsrsrCCx括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二项式.点评：题型9求展开式中系数最大(小)的项与最大二项式系数的比求其项的最大系数的展开式中在例，x20)32(15解:设项是系数最大的项,则1r112012020201120120202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC6.126.11r项系数最大的项是第13128122032C即二项式系数最大的项为第11项,即1020C所以它们的比是137102012812203211532CC例16在的展开式中，系数绝对值最大的项20)23(yx解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则1211202020119120202023232323rrrrrrrrrrrrCCCCrrrr3)21(2)20(2)1(3542537r8r所以当时，系数绝对值最大的项为8r812812820923yxCT例17求的展开式中数值最大的项50)21(211rrrrTTTT解：设第项是是数值最大的项1r展开式中数值最大的项是29295030)2(CT115050115050)2()2()2()2(rrrrrrrrCCCC251101251102rr88.2988.28r29r211rrrrTTTT解决系数最大问题，通常设第项是系数最大的项，则有1r由此确定r的取值例题点评题型10整除或余数问题例18。的余数除以求1009192解:9292)9100(919291919229029291192929910091009100100CCC前面各项均能被100整除.只有不能被100整除929929192290929029291192929292)1(1010101010)110(9CCCC19201010101029092902929119292CCC8110001010101029092902929119292CCC811009192除的余数是被可见余数为正整数注意(1)证明:9910-1能被1000整除(2)证明:32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除(3)9192除以100的余数是(81)(92年三南高考)(4)今天是星期日,再过290天是星期几?(一)(5)11100-1末尾连续零的个数是个(3个)整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧。余数要为正整数例题点评题型11近似计算问题例:计算(1)(0.997)3的近似值(精确到0.001)(2)(1.009)5的近似值(精确到0.001)例.某公司的股票今天的指数为2,以后每天的指数都比上一天的指数增加0.2%,则100天后这公司的股票股票指数为_____(精确到0.001)解:依题意有2(1+0.2%)1001002(10.002)01221001001002[0.0020.002]CCC2(10.20.0198)2.43962.44所以100天后这家公司的股票指数约为2.44点评近似计算常常利用二项式定理估算前几项题型12证明恒等式123119232nnnnnnCCCnCn例求证析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为由此分析求解rnnrnnnnnnnCCCCCC110,01231:023(1)nnnnnnnnnSCCCCnCnC解设nnnnnnnnCCCnCnnCS0)2()1(1210两式相加)(21210nnnnnnnnCCCCCnSnn212nnnS例题点评利用求和的方法来证明组合数恒等式是一种最常见的方法,证明等式常用下面的等式nnnnnnCCCC221014202nnnnCCCrnnrnCC15312nnnnCCC11mnmnnCmC例20．证明：3)11(2nn1*nNn且当2111111)11(22221nCnCnCnnnnn证明1(1)(1)111!!!kknkkknnnknCnknknk通项nnnnnnnCnCnCn1111)11(221122121212!1!31!212nn321121n3)11(2nn所以题型13证明不等式例题点评利用二项式定理证明不等式,将展开式进行合理放缩巩固练习一选择题a8)(xax1(04福建)已知展开式的常数项是1120,其中实数是常数,则展开式中各项系数的和是()82A83B831或C832或DCnxx)12(2若展开式中含项的系数与含项的系数之比为-5,则n等于()21x41xA4B6C8D10B82A83B831或C821或D3．被4除所得的系数为（）A．0B．1C．2D．39923331A632)(1)(1)(1)(1)05(1xxxx湖南展开式中的系数是______________2x2被22除所得的余数为。200020011353已知展开式中的系数是56，则实数的值是_______________26)1()1(axx3xa16或二填空题4.设二项式展开式的各项系数的和为P；二项式系数的和为S，且P+S=272，则展开式的常数项为_________．nxx)13(31081求展开式中含一次幂的项。5)11(xx45x1212)(2xxxf已知)3(1)(nNnnnnf求证3在的展开式中，求：20)23(yx（1）二项式系数最大的项；（2）系数绝对值最大的项；（3）系数最大的项10101010206yxC812812820923yxCT812812820923yxCT三计算题x性质复习性质1:在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.性质2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数最大；nnnknnnnCCCCC2210性质3：性质4：(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.