钱伯初量子力学答案(修正版)

量子力学解答(钱伯初量子力学)Chap1绪论1-13(a)求室温(T~300K)下中子的德布罗意波长.(b)如上述中子在地面附近下落1m,求波长变化的比率.解:(a)mkThkTmhmEhphk32322====λ中子的平均平动动能为kTEk23=所以mkThkTmh3232==λ代入数值得nmmmkTh145.01045.13001038.11067.131063.6310232734=×=××××××==−−−−λ(b)2pphphΔ−=Δ=Δλ,即ppΔ−=Δλλ由机械能守恒:Emghmp=+22,得0=Δ+Δhmgmpp,于是6232721032.13001038.13)1(8.91067,132)2/(2−−−×−=×××−×××=Δ=Δ=Δ=Δ−=ΔkThmgEhmgmphmgppkλλ1-14质量为m的粒子受弹性力F=−kx(k0)作用而作一维简谐振动,按照经典力学可以求出其运动规律为mktAtx=+=ωαω),sin()(A为振幅.谐振子的能量为221kAE=.以上请读者自行验证.试再利用玻尔-索末菲量子化条件或对应原理证明能量及振幅的量子化结果:,...2,1,0,2,===nmnAnEnnωωhh证明:由玻尔-索末菲量子化条件∫=nhpdq,注意到)sin(,αω+====tAxqxmmvp&,有:∫∫∫∫∫==+====nhmTAdttAmdtxmdtdtdxxmdxxmpdqTT2200222221)(cosωαωω&&&上式利用了21)(cos102=+∫dttTTαω,注意πω2=T得ωmnAAnh2==,能量ωωhnAmkAEnnn===2222121//1−15质量m的粒子在大小一定的向心力)0(−=krrkFvv作用下作圆周运动.先用经典力学证明轨道半径r,角速度ω,总能量E有如下关系:2222323,ωωmkkrEmkr===再利用量子化条件或对应原理证明能级的量子化公式:...3,2,1,)(233/1222==nmnkEnh证明:注意到rkrrkF)vv−=−=,径向牛顿力学方程为2ωmrmakn==,即mkr=2ω选取r=0为势能零点,势能为∫∫=−=⋅−=00ˆrrpkrkdrrdrkEv总能量为:krkrkrkrmrE23212122=+=+=ω对力心的角动量守恒,L=mr2ω为常量,由玻尔-索末菲量子化条件∫=nhpdq,得∫∫∫=====nhmkrmrdLLdpdqππωθθ2232解得:3/122)(mknrrnh==于是,...3,2,1,)(23)(23233/12223/122====nmknmknkkrEnnhh//Chap2波函数和薛定谔方程2-1设),(1trvψ和),(2trvψ是两个真实的运动态波函数,满足薛定谔方程.证明之值与时间无关.∫全τψψd2*1证明:由Schrodinger方程：1221)2(ψψVmti+∇−=∂∂hh（1）2222)2(ψψVmti+∇−=∂∂hh（2）取复共轭（1）∗：*122*1)2(ψψVmti+∇−=∂∂−hh（3）)1()2(2*1×−×ψψ得)(2)(2)(*122*12*12222*122*1ψψψψψψψψψψ∇−∇⋅∇−=∇−∇−=∂∂mmtihhh对全空间积分并注意可与对时间求导交换，得：∫∫∫∫⋅∇−∇−=∇−∇⋅∇−=∂∂SSdmdmdtivhhh)(2)(2)(*122*12*122*122*1ψψψψτψψψψτψψ全全S→∞时，态函数有限要求ψ~1/r3/2,面积分为零。即02*1=∂∂∫全τψψdt//2-2证明从单粒子薛定谔方程解出的速度场是无旋的，即▽×υ=0，其中υ=j/ρ,ρ为概率密度，j为概率流密度。证明:),(),(*),(tttrrrψψρ=),(*),(),(),(*[2ttttmirrrrjψψψψ∇−∇−=h粒子的速度分布υ)*(ln2*]lnln[2]),(*),(*),(),([2ψψψψψψψψρ∇−=∇−∇−=∇−∇−==mimittttmihhhrrrrjυ其旋度为0)*(ln2=∇×∇−=×∇ψψmihυ//2-3粒子在一维势场V(x)中运动，V(x)无奇点，设ψn,ψm为束缚态波函数，En≠En.证明ψn与ψm正交，即证明∫+∞∞−=0dxmnψψ证明:由定态Schrodinger方程：nnnEVdxdmψψ=+−)2(222h（1）mmmEVdxdmψψ=+−)2(222h（2）)1()2(×−×mnψψ得)(2)(2)(22nmmnnmmnmnnmdxdmmEEψψψψψψψψψψ′−′−=′′−′′−=−hh对全空间积分，注意束缚态函数在无穷远必须趋于0，得0)(2)(2)(22=′−′−=′−′−=−∞+∞−∞+∞−∞+∞−∫∫nmmnnmmnmnnmmdxdxdmdxEEψψψψψψψψψψhh当En≠En时，有//∫+∞∞−=0dxmnψψ2-5质量为m的粒子被限制在0xa(无限深势阱)运动，求全部束缚态能级(En)和归一化波函数（ψn）。解：U(x)与t无关，是定态问题。写出各区域Schrodinger方程的具体形式为Ⅰ：)()()()(20111222xExxUxdxdmxψψψ=+−h（1）Ⅱ：)()(2022222xExdxdmaxψψ=−≤≤h（2）Ⅲ：)()()()(2333222xExxUxdxdmaxψψψ=+−h（3）(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须∞=)(xU0)(1=xψ0)(3=xψ即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为0)(2)(22222=+xmEdxxdψψh令222hmEk=，得0)()(22222=+xkdxxdψψ其解为kxBkxAxcossin)(2+=ψ（4）根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得)0()0(12ψψ=0=⇒B（5）)()(32aaψψ=0sin=⇒kaA（6）),3,2,1(0sin0LQ==⇒=∴≠nnkakaAπ∴xanAxπψsin)(2=由归一化条件1)(2=∫∞dxxψ得1sin022=∫axdxanAπ由mnabaxdxanxamδππ∫=∗2sinsinxanaxaAπψsin2)(22=∴=⇒222hQmEk=),3,2,1(22222Lh==⇒nnmaEnπ可见E是量子化的。对应于的归一化的定态波函数为nE⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=−axaxaxxeanatxtEinn,,00,sin2),(hπψ或：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤==′′−axxaxEm,00022ψψψh⎪⎩⎪⎨⎧≥≤==+=axxmEkaxkxBkxAx,0020sincos)(ψψh由边界条件得：0,0)0(=⇒=Aψ0sin,0)(=⇒=kaBaψ...3,2,1,2,,02222==⇒=⇒≠nmanEankBnhππ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤==axxaxxanBx,000sin)(ψπψ归一化，aBdxaxnBa2,1sin022=⇒=∫π得：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=−axaxaxxeanatxtEinn,,00,sin2),(hπψ2-6质量为m的粒子只能沿圆环（半径R）运动，能力算符为22222ϕddmRHh)−=，ϕ为旋转角。求能级(En)和归一化波函数（ψn）。讨论各能级的简并度。解：写出Schrodinger方程：ψϕψEddmR=−22222h解此方程可得ϕψikAe=其中hRmEk2=。利用波函数归一化条件122220==∫πϕψπAd，可求出π21=A。再利用周期边界条件ψ(0)=ψ(2π),可得k=n（整数），于是有2222mRnEnh=，ϕπψinne21=，,...2,1,0±±=n除n=0时,简并度为1外，其余n值简并度为2。2-8对于δ势阱造成的束缚态，计算.,,,pxVTΔΔ解：δ势阱只有一个束缚态：20,0)(hγβββψββmxexexxx=⎪⎩⎪⎨⎧=−由书上p38第（9）、（10）式，对一维，有22222220230232202022222]22[2][2][22hhhhhhγβββββββψββββmmmdxedxemdxedxddxedxdmdxdxdmTxxxx==+=+=+==∫∫∫∫∫∞−∞−∞−∞−∞∞−22222)0()(hγγβψγγδψψmdxxVdxV−=−=−=−==∫∫∞∞−∞∞−02==∫∞∞−xdxxψ（|ψ|2为偶函数）2022222212ββψβ===∫∫∞−∞∞−dxxedxxxxγβmxxx221)(22/122h==−=Δ0][*ˆ*022022∫∫∫∫+∞∞−∞−∞−+∞∞−=−−=′−==dxedxeidxidxppxxββββψψψψhh2222222hhγβmTmp===hγmppp=−=Δ2/122)(222hhh==ΔΔγγmmpx2−9粒子在下列势阱中运动，⎪⎩⎪⎨⎧≥−≤∞=axaxVxxV000)(0试证明仅当阱深、阱宽满足条件maV82220πh时，才能存在束缚态(E0).并求能级方程。证明：写出各区域定态Schrodinger方程及解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=≥==−′′+=+==+′′≤=−−hhmEaxCeVEmkaxBeAekxxikxikx2,0)(20,000202βψψβψψψψψβk、β为实数。由边界条件，ψ(0)=0，得：A=−B；axkxAiBeAeikxikx=+=−0,sinψx=a处ψψ/′连续，得：β−=kakcot2/,0/cotπβ⇒−=kakka，即：222202228,4EamaVak−⇒ππh对于束缚态，E0，所以maV82220πh，能级方程为β−=kakcot。//2-11对于有限深平底势阱的第n个束缚态ψn，En，设V0En+V0，计算（a）粒子在阱外出现概率。（b）V(x)和V2(x)的平均值，并与En比较。解：（a）偶宇称态：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧−≤−+=≥−==−axCeaxaVEmkkxAaxmECexxx,0)(2,cos02,)(0βββψhh连续条件：，kaACeacos=−β能级方程：20222,tanhmVkkak=+=ββ2222cos,sinβββ+=+=⇒kkkakka归一化：)1(]2coscossin212[2]cos[2222220222ββψβ+=++=+==∫∫∫∞−∞+∞−aAkakakakaAdxeCdxkxAdxWaxa粒子在阱外出现概率：000000000000222222222)()1(2)(2)()2(2)(2)1)((1cos]1/[cos/][2/2mVaVVEVVEmVaVVEmEaVVEmEamVVEmakkakaakaWdxeCWdxWaxahhhhh+≈+−+=−+≈+−+=++=+=+===∫∫∞−∞+βββββψβ外（b）)1(/][/)(2/20220002020外WVWdxdxVWdxVWVdxVaa−−=−−=−==∫∫∫∫+∞+∞+∞ψψψψ)1(/][/)(2/2202202020202202外WVWdxdxVWdxVWdxVVaa−=−=−==∫∫∫∫+∞+∞+∞ψψψψ2-13对于谐振子的能量本征态，证明下列公式：)1(2110+−++=nnnnnxxψψψ)1(21110+−+−=nnnnnxdxdψψψ证明：)()!2()(2/2/102/22ξπξψξξnnnnnHenxHeN−−−==其中22)()1()(ξξξξ−−=eddeHnnn书上p55(10’)式写为：022=+′−′′nnnnHHHξ（1）112)()1()(2)1(2222+−+−−=−+−=′nnnnnnnHHeddeeddeHξξξξξξξξ21221121442224222+++++++−+=+−−+=′−′+=′′nnnnnnnnnnnnnHHHHHHHHHHHHHξξξξξξ于是，（1）为02)1(22)2(2442211212=+−+=+−−+−++++++nnnnnnnnnnHHHnnHHHHHHHξξξξξ即递