专题十三：极坐标与参数方程2013-2016高考数学全国卷(理)

1、（2016全国I卷23题）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.【答案】（I）圆，222sin10a（II）1考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用2、（2015全国I卷23题）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线1C:x=2，圆2C：22121xy,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I）求1C，2C的极坐标方程；（II）若直线3C的极坐标方程为4R，设2C与3C的交点为M,N,求2CMN的面积【答案】（Ⅰ）cos2,22cos4sin40（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C，2C的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4代入22cos4sin40即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2CMN的面积.试题解析：（Ⅰ）因为cos,sinxy，∴1C的极坐标方程为cos2，2C的极坐标方程为22cos4sin40.……5分（Ⅱ）将=4代入22cos4sin40，得23240，解得1=22，2=2，|MN|=1－2=2，因为2C的半径为1，则2CMN的面积o121sin452=12.考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系3、（2014全国I卷23题）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C：22149xy，直线l：222xtyt（t为参数）.(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为o30的直线，交l于点A，求||PA的最大值与最小值.【解析】：.(Ⅰ)曲线C的参数方程为：2cos3sinxy（为参数），直线l的普通方程为：260xy………5分（Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P(2cos,3sin)到l的距离为54cos3sin65d，则025||5sin6sin305dPA，其中为锐角．且4tan3.当sin1时，||PA取得最大值，最大值为2255；当sin1时，||PA取得最小值，最小值为255.…………10分4、（2013全国I卷23题）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos55sinxtyt(t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin。（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题.【解析】将45cos55sinxtyt消去参数t，化为普通方程22(4)(5)25xy，即1C：22810160xyxy，将cossinxy代入22810160xyxy得，28cos10sin160，∴1C的极坐标方程为28cos10sin160；（Ⅱ）2C的普通方程为2220xyy，由222281016020xyxyxyy解得11xy或02xy，∴1C与2C的交点的极坐标分别为（2,4），(2,)2.5、（2016全国II卷23题）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy中，圆C的方程为22625xy．（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（II）直线l的参数方程是cossinxtyt（t为参数），l与C交于A、B两点，10AB，求l的斜率．【解析】解：⑴整理圆的方程得2212110xy，由222cossinxyxy可知圆C的极坐标方程为212cos110．⑵记直线的斜率为k，则直线的方程为0kxy，由垂径定理及点到直线距离公式知：226102521kk，即22369014kk，整理得253k，则153k．6、（2015全国II卷23题）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1：cossinxtyt（t为参数，t≠0），其中0≤απ，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：23cos。（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求||AB的最大值。7、（2014全国II卷23题）（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，0,2.（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线:32lyx垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.8、（2013全国II卷23题）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：2cos2sinxy为参数上，对应参数分别为β=α与α=2π为（0＜α＜2π）M为PQ的中点。（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。9、（2013全国III卷23题）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3cos()sinxy为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()224.（I）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（II）设点P在1C上，点Q在2C上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.【答案】（Ⅰ）1C的普通方程为2213xy，2C的直角坐标方程为40xy；（Ⅱ）31(,)22．考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．