采样过程及数学描述

采样过程及数学描述将连续信号转换为脉冲信号或数字信号的过程称为采样。信号的采样过程可用一个周期性闭合的采样开关表示，该采样开关每隔T秒闭合一次，每次闭合时间为，且远小于T。T称为采样周期，单位为秒(s)；实际系统中，采样开关多为电子开关。现在以下面的例子来说明信号的采样过程。图1(a)所示连续信号经过图1(b)所示采样开关的采样后，得到图1(c)所示采样信号。采样器好像一个幅值调制器，()Tt是调幅器的载波。它是以T为周期的单位理想脉冲序列，()Tt的数学表达式为：()()TnttnT当载波()Tt被输入连续信号e（t）调幅后，其输出信号为*()et。调制信号e（t）决定*()et的幅值，载波信号()Tt决定采样时刻，其调制过程可表示为：*()()()()()TnetettettnT通常在控制系统中，认为t0时信号e（t）=0，所以*00()()()()()nnetettnTenTtnT对上式进行拉氏变换，得：**0[()]()()nTsnLetEsenTe*()Es还可以用另一种形式表达，由于单位脉冲序列为周期函数，因此可以展开成傅里叶级数。()sjnwtnnntnTce式中2/2sswTf并且1/sfT称为采样频率；sw称为采样角频率；nc为傅氏系数，即/20/20111()()ssTjnwtjnwtnTTctedttedtTTT由上式得：*01()()snEsEsjnwT由上式可见*()Es是s的周期函数。如果is是E（s）的极点，则(issjnw）都是*()Es的极点。这就是说*()Es有无穷多的极点。采样定理1.采样定理的提出如何从采样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失真地完成这种恢复作用。从这两点问题出发，人们提出了采样定理。采样定理在通信系统、信息传输理论方面占有十分重要的地位，许多近代通信方式都以此定理作为理论基础。采样定理主要分为时域采样定理和频域采样定理，下面从这两个方面做具体的解释。2.时域采样定理时域采样定理说明：一个频谱受限的信号f（t），如果频谱只占据~mmww的范围，则信号f（t）可以用等间隔的抽样值唯一表示。而抽样间隔必须不大于12mf，或者说，最低采样频率为2mf.时域采样定理的证明：假定信号f（t）的频谱F（w）限制在~mmww范围内，若以间隔sT（或者重复频率2sSwT）对f（t）进行采样，采样后信号()sft的频谱()sFw是F（w）以sw为周期重复。如果采样过程满足式()()()sftftpt，则()sFw才不会产生频谱混叠。这样采样信号()sft保留了原有连续信号f（t）的全部信息，完全可以用()sft唯一的表示f（t），或者说，完全可以由()sft恢复出f（t）。对于采样定理，可以从物理概念上做如下解释。由于一个频带受限的信号波形绝不可能在很短的时间内产生独立的，实质的变化，它的最高变化速度受到最好频率分量mw的限制因此为了保留这一频率分量的全部信息，一个周期的时间间隔内至少采样两次。在满足采样定理的条件下，为了从频谱()SFw中无失真的选出F（w），可以用如下的矩形函数H（w）与()SFw相乘，既()()()SFwFwHw其中sTmww()Hw=0mww3.频域采样定理根据时域与频域的对称性，可以由时域采样定理直接推论出频域采样定理。频域采样定理的内容是：若信号f（t）是时间受限信号，它集中在~mmtt的时间范围内，若在频域中以不大于12mt的频率间隔对f（t）的频谱F（w）进行采样，则采样后的频谱1()Fw可以唯一的表示原信号。从物理概念上不难理解，因为在频域中对F（w）进行抽样，等效于f（t）在时域中重复形成周期信号1()ft。只要采样间隔不大于12mt，则在时域波形不会产生混叠，用矩形脉冲作选通信号从周期信号1()ft中选出单个脉冲就可以无失真地恢复出原信号f（t）。