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1课时作业(四十一)[第41讲直线、平面垂直的判定与性质](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．直线l不垂直于平面α，则α内与l垂直的直线有()A．0条B．1条C．无数条D．α内所有直线2．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是()①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC.A．①②B．①③C．②③D．②④3．在下列关于直线l，m与平面α，β的命题中，真命题是()A．若l⊂β且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m且l∥m，则l∥α4．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④能力提升5．[2012·北京东城区模拟]已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的为()A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，n∥β26．[2012·沈阳、大连联考]设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，且l⊥b”是“l⊥α”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件7．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于()A．A′C′B．BDC．A′D′D．AA′8．给出命题：(1)在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；(3)已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；(4)a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．39．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是()①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.A．①②B．②③C．③④D．①④10．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)11．如图K41－1所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)3图K41－112．已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的________心．13．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：________．14．(10分)[2012·乌鲁木齐测验]如图K41－2所示，三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝3，CA＝CB＝2，AC⊥BC.(1)求证：PC⊥AB；(2)求点B到平面PAC的距离．图K41－215．(13分)[2012·广东卷]如图K41－3所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝12AB，PH为△PAD中AD边上的高．(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)若PH＝1，AD＝2，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；(3)证明：EF⊥平面PAB.4图K41－3难点突破[中。教。网z。z。s。tep]16．(12分)[2012·太原模拟]如图K41－4，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段AD1上的点，且满足D1P→＝λPA→(λ0)．(1)当λ＝1时，求证：DP⊥平面ABC1D1；(2)当λ变化时，三棱锥D－PBC1的体积是否为定值？若是，求出其体积；若不是，请说明理由．图K41－45课时作业(四十一)【基础热身】1．C[解析]可以有无数条．2．A[解析]易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC，又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB，因此选A.3．B[解析]A显然不对，C，D中的直线有可能在平面α内．故选B.4．D[解析]当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．【能力提升】5．B[解析]根据定理、性质、结论逐个判断．因为α⊥β，m⊂α⇒m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在面β内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．6．C[解析]由线面垂直的判定定理知，由于已知两直线a，b不一定相交，充分性不成立；由线面垂直的性质定理知，必要性成立，故应为必要不充分条件．7．B[解析]连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.8．B[解析](1)错；(2)正确；(3)“α⊥β”是“m⊥β”的必要条件，命题错误；(4)只有当异面直线a，b垂直时可以作出满足要求的平面，命题错误．9．A[解析]m∥α，n∥α，m，n可能平行、相交或异面，故③错；α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α⊥β，所以④错．10．充分不必要[解析]若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.11．DM⊥PC(或BM⊥PC等)[解析]连接AC，则BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，则BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.12．垂[解析]如图所示，6PA⊥PB，PA⊥PC，所以PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC，又PH⊥平面ABC，所以AE⊥BC.即H是△ABC高的交点，所以H一定是△ABC的垂心．13．②③④⇒①或①③④⇒②[解析]由题意可构造出四个命题(1)①②③⇒④；(2)①②④⇒③；(3)①③④⇒②；(4)②③④⇒①.只有(3)(4)是正确的．14．解：(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OP.∵PA＝PB，∴PO⊥AB.又∵CA＝CB，∴CO⊥AB.又PO∩CO＝O，∴AB⊥平面POC，而PC⊂平面POC，∴PC⊥AB.(2)在△ABC中，AC＝BC＝2，AC⊥BC，∴AB＝2，OC＝OA＝1.在△PAB中，PA＝PB＝3，OA＝1，∴PO＝2.在△POC中，PO＝2，OC＝1，PC＝3，故PO2＋OC2＝PC2，∴PO⊥OC.又∵PO⊥AB，AB∩OC＝O，∴PO⊥平面ABC.在△PAC中，AC边上的高为h＝（3）2－222＝102.由于VP－ABC＝VB－PAC，设点B到平面PAC的距离为x，则13·12·CA·CB·PO＝13·12·CA·h·x，∴x＝CB·POh＝2105.故点B到平面PAC的距离为2105.15．解：(1)证明：由于AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，故AB⊥PH.又因为PH为△PAD中AD边上的高，故AD⊥PH.∵AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PH⊥平面ABCD.7(2)由于PH⊥平面ABCD，E为PB的中点，PH＝1，故E到平面ABCD的距离h＝12PH＝12.又因为AB∥CD，AB⊥AD，所以AD⊥CD，故S△BCF＝12·FC·AD＝12×1×2＝22.因此VE－BCF＝13S△BCF·h＝13×22×12＝212.(3)证明：如图，过E作EG∥AB交PA于G，连接DG.由于E为PB的中点，所以G为PA的中点．因为DA＝DP，故△DPA为等腰三角形，所以DG⊥PA.∵AB⊥平面PAD，DG⊂平面PAD，∴AB⊥DG.又∵AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴DG⊥平面PAB.又∵GE綊12AB，DF綊12AB，∴GE綊DF.所以四边形DFEG为平行四边形，故DG∥EF.于是EF⊥平面PAB.【难点突破】16．解：(1)证明：∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，又AB⊂平面ABC1D1，∴平面ABC1D1⊥平面AA1D1D，∵λ＝1时，P为AD1的中点，∴DP⊥AD1，又∵平面ABC1D1∩平面AA1D1D＝AD1，∴DP⊥平面ABC1D1.(2)三棱锥D－PBC1的体积恒为定值．8易证四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1，又P为线段AD1上的点，∴△PBC1的面积为定值，即S△PBC1＝12×2×1＝22.又∵CD∥平面ABC1D1，∴点D到平面PBC1的距离为定值，即h＝22，∴三棱锥D－PBC1的体积为定值，且VD－PBC1＝13×22×22＝16.即无论λ为何值，三棱锥D－PBC1的体积恒为定值16.