2014届高考数学一轮复习课件：第五章第3课时等比数列及其前n项和(新人教A版)

第3课时等比数列及其前n项和2014高考导航考纲展示备考指南1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系.1.等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式是高考的热点．2.客观题突出“小而巧”，考查学生对基础知识的掌握程度，主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法．3.题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基基础梳理1.等比数列的定义(1)条件：一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比等于______________．(2)公比：是指_____，通常用字母q表示(q≠0)．(3)定义表达式：_______________________．同一个常数常数an＋1an＝q(n∈N*，q≠0)2.等比数列的通项公式若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则其通项公式为___________________．3.等比中项如果_____________成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒_____________．an＝a1qn－1(n∈N*)a，G，bG2＝a·b思考探究b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件．当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b,c不成等比数列；反之，若a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.4.等比数列的前n项和公式(1)当公比q＝1时，Sn＝_______；(2)当公比q≠1时，Sn＝_________＝_________．5.等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝_________＝____；(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．na1a1（1－qn）1－qa1－anq1－qap·aqa2r课前热身1．在等比数列{an}中，若a4＝8，q＝－2，则a7的值为()A．－64B．64C．－48D．48答案：A2．(2012·高考安徽卷)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．8解析：选A.∵a3·a11＝16，∴a27＝16.又∵an＞0，∴a7＝4，a5＝a7·q－2＝4×2－2＝1.故选A.3．设数列{an}满足：2an＝an＋1(n∈N*)，且前n项和为Sn，则S4a2的值为()A.152B.154C．4D．2解析：选A.由题意知，数列{an}是以2为公比的等比数列，故S4a2＝a11－241－2a1×2＝152，故选A.4．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则数列{an}的前4项和为________．解析：∵a5a2＝27＝q3，∴q＝3，a1＝a2q＝3，∴S4＝3×1－341－3＝120.答案：1205．(教材习题改编)在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则这个数列的前8项之和S8＝________.答案：510解析：a1＋a4＝a1(1＋q3)＝18，a2＋a3＝a1(q＋q2)＝12，两式联立解得q＝2或12，而q为整数，∴q＝2，a1＝2，代入公式求得S8＝21－281－2＝510.考点1等比数列的判定与证明已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝n.(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；(2)设c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通项公式．考点探究讲练互动例1考点突破【解】(1)证明：由a1＋S1＝1及a1＝S1，得a1＝12.又由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1，得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1.∴2(an＋1－1)＝an－1，即2bn＋1＝bn.∴数列{bn}是以b1＝a1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列．(2)法一：由(1)知2an＋1＝an＋1.∴2an＝an－1＋1(n≥2)，∴2an＋1－2an＝an－an－1，∴2cn＋1＝cn(n≥2)．又c1＝a1＝12，∴数列{cn}是首项为12，公比为12的等比数列．∴cn＝12·(12)n－1＝(12)n.法二：由(1)知bn＝－12·(12)n－1＝－(12)n，∴an＝－(12)n＋1.∴cn＝－(12)n＋1－[－(12)n－1＋1]＝(12)n－1－(12)n＝(12)n－1(1－12)＝(12)n(n≥2)．又c1＝a1＝12也适合上式，∴cn＝(12)n.【名师点评】等比数列的判定方法有：(1)定义法：an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn，(c、q均为不为0的整数，n∈N*)，则{an}是等比数列．跟踪训练1．(2013·长沙模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N*.令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列．证明：b1＝a2－a1＝1.当n≥2时，bn＝an＋1－an＝an－1＋an2－an＝－12(an－an－1)＝－12bn－1，∴{bn}是以1为首项，－12为公比的等比数列．考点2等比数列的基本运算(1)(2012·高考江西卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝__________；(2)(2012·高考浙江卷)设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝__________.例2【解析】(1)由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q，则a1(q2＋q－2)＝0.由q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝a11－q51－q＝1－－253＝11.(2)法一：S4＝S2＋a3＋a4＝3a2＋2＋a3＋a4＝3a4＋2，将a3＝a2q，a4＝a2q2代入得，3a2＋2＋a2q＋a2q2＝3a2q2＋2，化简得2q2－q－3＝0，解得q＝32(q＝－1不合题意，舍去)．法二：a1(1＋q)＝3a1q＋2.①由S4＝3a4＋2，得a1(1＋q)(1＋q2)＝3a1q3＋2.②由②－①，得a1q2(1＋q)＝3a1q(q2－1)．∵q＞0，∴q＝32.【答案】(1)11(2)32【方法提炼】(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(2)在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．跟踪训练2．设等比数列{an}的公比q1，前n项和为Sn.已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．解：由题设知a1≠0，Sn＝a11－qn1－q，所以a1q2＝2，①a11－q41－q＝5×a11－q21－q.②由②式得1－q4＝5(1－q2)，即(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0.因为q1，所以q＝－1，或q＝－2.当q＝－1时，代入①式得a1＝2，通项公式an＝2×(－1)n－1；当q＝－2时，代入①式得a1＝12，通项公式an＝12×(－2)n－1.综上，an＝2×－1n－1，q＝－1，12×－2n－1，q＝－2.例3考点3等比数列的性质(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1·a2·a3＝5，a7·a8·a9＝10，则a4·a5·a6＝()A．52B．7C．6D．42(2)已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于()A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2【解析】(1)∵a1·a2·a3，a4·a5·a6，a7·a8·a9成等比数列，∴(a4·a5·a6)2＝(a1·a2·a3)(a7·a8·a9)＝50.又an＞0，∴a4·a5·a6＝52.(2)∵a5·a2n－5＝a2n＝22n且an＞0，∴an＝2n，∴a2n－1＝22n－1，∴log2a2n－1＝2n－1，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.【答案】(1)A(2)C【题后感悟】等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．跟踪训练3．(1)已知{an}是公比为2的等比数列，若a3－a1＝6，则a1＝__________；1a21＋1a22＋…＋1a2n＝__________；(2)已知{an}为等比数列，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则数列{an}的前9项之和为__________．解析：(1)∵{an}是公比为2的等比数列，且a3－a1＝6，∴4a1－a1＝6，即a1＝2，∴an＝a12n－1＝2n，∴1an＝12n，1a2n＝14n，即数列{1a2n}是首项为14，公比为14的等比数列，∴1a21＋1a22＋…＋1a2n＝141－14n1－14＝131－14n.(2)∵(a1＋a2＋a3)，(a4＋a5＋a6)，(a7＋a8＋a9)成等比数列，∴公比q＝a4＋a5＋a6a1＋a2＋a3＝12，∴a7＋a8＋a9＝40×122＝10，∴S9＝40＋20＋10＝70.答案：(1)213(1－14n)(2)70方法感悟1．已知等比数列{an}(1)数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}，{1an}也是等比数列．(2)a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1.2．判断数列为等比数列的方法(1)定义法：an＋1an＝q(q是不等于0的常数，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列；也可用anan－1＝q(q是不等于0的常数，n∈N*，n≥2)⇔数列{an}是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同．(2)等比中项法：a2n＋1＝anan＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．名师讲坛精彩呈现例(本题满分12分)(2011·高考湖北卷)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.()1求数列{bn}的通项公式；()2数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．规范解答数列中的综合题【解】(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.1分所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有()7－d()18＋d＝100，解得d＝2或d＝－13()舍去分故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.4分所以{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝54·2n－1＝5·2n－3分3412()2证明：数列{bn}的前n项和Sn＝54()1－2n1－2＝5·2n－2－54，8分即Sn＋54＝5·2n－2分所以S1＋54＝52，Sn＋1＋54Sn＋54＝5·2n－15·2n－2＝．因此{S